小學生計算失誤的認知要素分析及教學啟示

　　學校數學期末試卷（蘇教版四年級上冊）中，有一項豎式計算題：
　　294×80= 343÷70=
　　504÷56= 476÷34=
　　原本以為學生不會有什么問題，不料，閱卷過程中，大家發現第一小題乘法計算題：294×80成了學生出錯率較高的一道。固然，這是提前教學的四年級下冊內容，并且教師沒有復習，學生有遺忘現象。但深層的原因究竟是什么？我們希望通過對此題學生答卷情況全樣本的調查分析，探個究竟。
　　一
　　筆者就此題對本校四年級20個班786位學生的答卷進行了調研，逐一登記出錯學生的班級、姓名、錯例，然后根據這些原始信息從性別、學習態度、學習能力等方面向數學任教老師作了訪談，最后按照錯誤類型分類統計，從中可以發現，此題一共有97名學生發生錯誤，占全年級人數的12.34%。從錯誤類型看，主要有：看錯題目、法則不熟、計算錯誤以及綜合性錯誤。其中“計算錯誤”的占錯誤人數的48.45%，接近一半。“看錯題目”的占錯誤人數的24.74%。看錯題目中以看錯運算符號的為最，占83.3%。“法則不熟”的占錯誤人數的21.65%。“綜合性錯誤”的占錯誤人數的5.15%。統計結果表明發生單一性錯誤的占絕對多數，而發生綜合性錯誤的極少。從學生性別看，男生占錯誤人數的55.7%，女生占44.3%，都占一半左右，說明學生計算錯誤與學生性別關系不大。從學習態度看，“好”的占錯誤人數的23.7%，“中”和“差”的分別占38.1%。學習態度“中”和“差”的超過錯誤人數的四分之三。從學習能力看，“上”的占錯誤人數的22.7%，“中”的占52.6%，“下”的占錯誤人數的24.7%。學習能力“中”和“下”的也超過錯誤人數的四分之三。
　　統計結果表明：計算錯誤、看錯題目、法則不熟分別是影響學生計算失誤的三大認知要素；學生計算發生錯誤，學習態度和學習能力也是兩個重要因素。
　　二
　　學生計算失誤的原因比較復雜，是認知因素與非認知因素（如情感、態度、意志、疲勞等因素）共同作用的結果。下面結合主要錯誤類型，試從認知方面探尋錯誤的原因。
　　1.看錯題目歸因不對。“看”錯現象是學生數學學習中的“頑癥”，具有一定的普遍性和典型性。學生“看”錯原因是多方面的。從兒童心理發展規律看，初入學兒童除了感知粗糙、籠統之外，對方位知覺的困難也會造成學習上的錯誤。從教學方法看，一些教師由于缺乏教學經驗，往往就題論題，訓練內容單一、形式枯燥，缺少題目的變式訓練、對比練習，久而久之養成了學生審題的惰性。上述題組中，三位數除以兩位數的題目形成了強刺激，當然學生容易“上當”了。“看錯運算符號”的人數占“看錯題目”的83.3%就很有說服力。從生理學角度看，學生經常“看”錯實際上是由感覺統合失調引起的。一般來說，視覺統合失調的學齡兒童，常會出現讀書跳行、翻書頁碼不對、演算數學題常會抄錯等等視覺上的錯誤，從而造成學習障礙。
　　如果我們了解這些知識，當學生“看”錯時，就不會毫無根據、強詞奪理地埋怨甚至指責學生“粗心”；如果我們能夠運用這些知識，就會富有同情心和責任感地采取更有建設性與專業化的方法幫助學生預防、矯正，就不會有約占錯誤人數四分之一的學生“看”錯題目了。
　　2.計算法則半生不熟。在以前使用的各種版本教材中，一般都把計算法則完整、準確、凝煉地呈現出來，而目前使用的蘇教版教材和《教師教學用書》中都沒有任何法則的表述與呈現。這樣的改變使得計算教學出現了一定程度的混亂局面：有的教師會進行適時歸納，并要求學生在理解的基礎上記住；有的教師雖然心中有法則，但在教學時卻沒有加以歸納和呈現，怕與新課程理念不符；剛工作的新教師，根本無所適從。由此可見，當前計算法則教學呈現出的混亂狀態，是學生計算法則掌握半生不熟的根本原因。
　　新課程的計算教學倡導算法多樣化，計算法則的教學有所淡化，法則間內在聯系的學習也有所弱化。而計算法則和運算順序是學生計算能力形成的極為重要的知識。筆者認同這樣的觀點：通過算法多樣化使學生廣開言路的同時，要進行全班對話、交流，教師適時點撥，引導學生對運算方法或規律進行提煉，使學生習得程序性知識，并形成良好的認知結構，而不能僅僅停留在“你喜歡哪種方法就用哪種方法”的學生“現有發展區”內。調查結果顯示，全年級有21.65%的學生計算294×80時結果等于2352，而忘記了在積的末尾添“0”，實質表明學生計算法則不熟練，沒有在頭腦中形成清晰、穩定的運算操作程序，即分解的單一技能沒有通過有效訓練組合起來，形成復合性技能。
　　我們又進一步分析了原始調查數據，發現學生計算法則不熟與教師的教學經驗和對計算法則教學的重視程度有關。三名骨干教師任教的班級只有4人發生錯誤，而八名普通教師任教的班級共有17人發生錯誤。
　　3.計算技能操練不夠。曾經有一段時期，不少人對培養學生的運算能力，訓練學生的計算技能諱莫如深。認為現在已經是信息社會，計算可以請計算器、計算機代勞，學生計算能力的培養無足輕重。還有些人天真地以為，學生學會了計算方法，掌握了數學法則，自然就會正確、熟練地計算出結果。這些認識上的誤區，違背了計算技能的形成規律，使教師沒有及時組織有效的、適量的練習與反饋，喪失了計算技能形成的良機。
　　培養學生的運算能力不僅符合認知規律，而且是學生進一步學習的必要基礎。《數學課程標準》（修訂稿）中明確地提出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力還有助于學生理解運算的算理，能夠尋求合理簡潔的運算途徑解決問題”。著名數學教育專家張奠宙先生認為中國數學教育特色就是：“在良好的數學基礎上謀求學生的數學發展。”并且指出這里的“數學基礎”，“其內涵就是三大數學能力：數學運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力”。
　　“計算錯誤”的人數占錯誤總人數的48.45%，高居影響學生計算失誤的三大認知要素之首，有力地說明計算練習不夠，針對性不強，學生沒有形成一定的計算技能。“淡化計算”所產生的教學后果是嚴重的。
　　三
　　結合上述調查和分析的結論，筆者認為當下的計算教學需要注意以下幾個方面。
　　1.加強學生審題指導。不要以為只有概念題、應用題這些文字敘述的題目，才需要審題、讀題，對于以數字和符號形式表達的口算題、計算題，也要進行審題訓練。不能只是一般性地“看”一遍，而要同時讓學生“讀”出來。訓練初期可以出聲地讀出來，以后逐步訓練學生默讀。這樣，視覺和聽覺雙管齊下，多種感官并用，可以避免某一方面感覺統合失調帶來的消極影響。學生養成邊看邊默讀的良好讀題習慣，可以大大減少單純由“看”致錯的機會。
　　2.重視法則提煉過程。計算法則是在學生理解算法及其理論根據的基礎上，教師引導學生逐步歸納、提煉出來的。它是學生計算演練的操作程序，也是進行判斷、推理的依據。
　　筆者認為，應該重視計算法則的教學，適時地歸納、提煉、呈現計算法則。具體說來，要把握以下三點。
　　（1）分段呈現，逐步抽象。計算法則是抽象的，而小學生主要是憑借動作、直觀、形象進行思維的，他們的數學語言能力正在發展中。所以計算法則的概括、呈現要考慮學生的年齡特點和抽象思維能力，要從學生“現有發展區”出發，緊密結合學生現有知識、經驗進行總結，使總結的計算法則落在學生的 “最近發展區”內，能夠與學生已有的知識進行有效鏈接。否則，可能欲速而不達。例如，“百以內數的筆算”單元，教學“筆算加法（不進位）”時先歸納出兩點：“個位與個位對齊，十位與十位對齊；從個位加起。”教完“筆算減法（不退位）”后再歸納出：“個位與個位對齊，十位與十位對齊；從個位減起。”并把“筆算加減法（不進位、不退位）”的計算法則統一起來：“數位對齊，從個位算起。”接著教學“百以內數的筆算加減法（進位、退位）”時，歸納為：“數位對齊；從個位算起；個位相加滿十，向十位進一，個位不夠減，從十位退一。”
　　
　　（2）合理編碼，擇要板書。為了方便學生記憶，呈現有關計算法則時，在做到完整、準確的前提下還要精煉，在板書時要盡量抓住計算法則的要點。如加法的豎式演算法則可以濃縮為“數位對齊，個位算起，滿十進一”十二個字作為記憶的要點。
　　（3）充分理解，不斷內化。當學生理解了算理，教師將法則呈現出來后，還要讓學生理解和掌握。①全面理解。例如，“百以內數的加法（進位）”的筆算法則，在以十二個字呈現出來以后還要讓學生明白：“數位對齊”的意思是“個位和個位對齊，十位和十位對齊”；“滿十進一”的意思是“個位相加滿十，要向十位進一”。②逐步掌握。要想準確、全面、熟練、精細地掌握法則，需要組織及時的練習。
　　3.抓住技能形成時機。計算是一種智力操作技能，而知識轉化為技能是需要過程的。計算技能的形成具有自身獨特的規律。有研究表明：學生計算技能的形成一般要經歷四個階段，即認知階段、分解階段、組合階段、自動化階段。
　　運算技能的形成是不斷運用運算法則，經過多次合理練習而實現的。練習中應該重在理解，重在變式訓練，而不是只追求練習的數量。只要連續多次能夠正確而順利地完成有關動作程序，就應該轉向下一個階段。
　　如果不注重計算技能形成的幾個階段的良性過渡，對學生的計算學習急功近利，在學生初步理解算理、明確算法后，就去解決實際問題，極不利于學生計算技能的形成。因為這時正是計算技能形成的關鍵時機，應該根據計算技能的形成規律，及時組織有效的練習與反饋。
　　練習初期，可以適當放慢速度，讓學生出聲地說出計算過程，有利于學生明晰計算的程序，把握法則的操作要領。因為數學技能作為一種活動方式，主要是借助于內部語言默默地進行的，而內部語言是由外部語言轉化而來的。在邊做邊說的場合下，活動易于向言語執行水平轉化。所以，用自己的語言對數學活動的全過程進行描述，是數學技能訓練中的一個重要措施。
　　4.突出關鍵環節訓練。在計算294×80時，屬于“計算錯誤”類型的有47人，其中29人都是在計算到最后一步2×8+7時發生錯誤，占“計算錯誤”人數的61.7%。其中萬位上錯誤的有14人，千位上發生錯誤的有15人。
　　為什么這么多學生在這個環節發生錯誤？說明這兒是教學的一個關鍵環節，是學生練習的薄弱之處。除了學生口訣不熟練，進位加不準確之外，還有一個重要原因，就是學生短時記憶的能力較弱。
　　在計算過程中，由于學生瞬時記憶、短時記憶的能力比較弱，不能準確地提取儲存的信息，使得儲存的信息消失或暫時中斷，從而丟三落四，造成“遺忘性差錯”。特別是連加、連減、乘加、乘減、進位加、退位減、連乘、連除等口算題，瞬時記憶量較大，要求暫時記住每一步口算的結果。筆者曾經作過調查，現行教材中有關專門訓練乘加的習題極少，教學豎式計算時經驗缺乏的教師沒有意識到乘加基本訓練對整個豎式計算的重要作用，造成基本技能訓練缺失，不能滿足學生計算兩位數乘兩位數，三位數乘一位數，三位數乘兩位數以及相應除法計算的現實需要。如果教學中教師明確要點，抓住要害，突出關鍵環節，攻克學習難點，不僅可以提高教學效果，還可以避免機械重復訓練，減輕學生學業負擔。
　　5.重視典型錯例剖析。在運用計算法則進行計算的初期，學生的作業中會出現形形色色的錯誤。這些錯誤反映了學生對計算法則理解的偏差，教師要選擇典型的錯例，引導學生對照計算法則加以糾正。通過示錯、找錯、議錯、改錯能夠有效地幫助學生從正反兩方面加深對計算法則的認識，提高計算的正確率。例如在教完“百以內數的加法（進位）”后可以從學生的作業中尋找類似下面的豎式讓學生改錯：
　　其中第一題的錯誤是數位沒有對齊（違反法則第1條），第二題的錯誤是需要進位時沒有進位（違反法則第3條），這些都是學生計算時容易發生的錯誤。錯題最好來源于學生的練習，或根據學生的錯誤改編，來源于他們作業中的問題，容易引起學生思考的興趣。盡量少用教師自己杜撰的錯題，以免節外生枝。
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