精心設計 讓問題成為數學有效探究的起點

　　“學起于思，思源于疑”，有問題才會引發探究活動。有效的問題必須緊緊圍繞課堂教學目標，符合學生現實起點，利于課堂生成和提升學生思維品質。讓問題成為有效探究的起點。
　　一、 問題設計要緊扣預定目標
　　探究問題的預設要以教師期望學生達成的目標為基礎，這樣的探究才會更有效。預設問題時，首先要有明確的目標。不是拿問題作擺設，而是仔細定位、精心設計。
　　如《比例的意義》一課的教學目標是：比例的本質含義是什么？比例與比有怎樣的關系？人教版教材通過四幅不同尺寸國旗，引導學生觀察、比較大小國旗的長寬關系，教師這樣設計問題：
　　1.“同為國旗，卻有大有小，他們之間有什么相似之處呢？”在對比中讓學生意識到：國旗的形狀沒變、長寬的倍數關系也一致。
　　2.“你能從數據中發現其中的奧秘嗎？”學生經過探索發現：長和寬的比值居然都相等，長擴大幾倍，寬也擴大幾倍；長縮小幾倍，寬也縮小幾倍。
　　3.“比值相等說明了什么？”這樣既能引導學生積極建構比例的本質意義，又能深切地感受到比例的現實意義及其存在價值。
　　可見，只有在清晰目標的指引下，學生的探究活動才不會迷失方向，探究才會有效進行。
　　二、 問題設計要符合現實起點
　　現實起點是指學生通過日常生活的各種渠道以及自身實踐，形成的對數學問題的理解與想法。我們知道學生在日常生活實踐中已經獲得了與問題相關的體驗或經驗，而這些源于生活的樸素經驗為學生解決問題提供了框架和基礎，教師不能視而不見。只有符合學生現實起點的學習才會更有效。
　　例如，我們在執教《圓的周長》時，往往從知識的邏輯起點“周長”導入，希望在激活已有知識經驗的基礎上，制造矛盾沖突：圓的周長與已學的平面圖形的周長明顯不同，不能用以前的方法計算，以此激發學生自主探究的興趣，引出“化曲為直”的思想方法，推導出圓的周長公式。然而課堂的實際遭遇卻經常是：課題剛一揭示，學生已在交流：我知道“圓的周長=直徑×圓周率”；實驗還未做，表格已經填好，學生在“圓周長是直徑的幾倍”一欄中直接填上3.14，再用3.14乘直徑得出圓周長。如此的探究活動形同虛設，根本沒有效果。
　　課堂上緣何出現這樣的尷尬場面，筆者認為主要原因是教師在教學設計前沒有經過前測或訪談，無視學生的現實起點。我們可以針對學生可能在課前已經了解“圓的周長=直徑×圓周率”這一事實，這樣設計問題：
　　1.（出示大小不同的兩個圓）要知道大圓的周長比小圓的周長長多少，你有什么辦法？
　　2.什么是“圓周率”，用上面的公式可以計算哪個圓的周長？操場上的圓呢？為什么？
　　3.任何圓的周長除以直徑都等于圓周率，也就是約等于3.14？你們確信嗎？對這一觀點有懷疑，怎么辦？
　　就這樣，一開始先把學生已經知道的全“抖出來”，以找準學生的現實起點，根據學生的真實學情，提出問題，激活學生的最近發展區，把他們的思考焦點集中在圓周率上，他們才會主動地想辦法證明：“不管是大圓還是小圓，周長除以它的直徑都等于圓周率”。此時的探究活動才是真實而有效的。
　　三、 問題設計要利于課堂生成
　　盡管課堂教學是動態生成的，但那些 “生成”理念支撐下的“精心預設”是完全必要的。
　　如教學《中位數和眾數》，學生在日常生活和學習中對“平均數”的烙印太深，對“中位數”、“眾數”知之較少，教師必須借助情境，精心設計問題，制造認知沖突，產生認識“中位數”、“眾數”的需求。
　　小華大學畢業找工作，對兩個招聘信息產生了興趣：
　　長江電腦公司：現有員工9人，人均月工資3000元，欲招一名大學生。
　　黃河電腦公司：現有員工9人，人均月工資2500元，欲招一名大學生。
　　1.如果你是小華，去哪家公司合適？
　　大部分學生會不約而同地認為去長江電腦公司，那里平均工資高。但也不排除有個別學生會隱隱約約覺得不一定，可能說不清楚理由。
　　2.設問：人均月工資高的公司員工工資肯定高嗎？引導學生大膽聯想：平均數一定時，如果一個人工資特別高，對其他人的工資有沒有影響？（接著教師出示兩個公司員工的具體工資。）
　　3.看了這兩個公司員工的工資情況，你現在建議小華去哪個公司？（黃河公司）為什么改變主意了？（學生們領悟到長江公司的平均工資高，是因為兩個經理的工資高，員工工資還不如黃河公司，表哥是新員工，拿的是員工工資，還是去黃河公司好。）
　　4.追問：當出現極端數據（太大或太?。r，平均數已不能很好地代表公司的一般水平，究竟用什么數表示合適呢？
　　學生在問題的引領下獨立思考、小組商量、集體議論出有趣“數”：
　　方法一：不計算經理和副經理的工資，求員工的平均工資。
　　方法二：去掉一個最高的和一個最低的，再計算平均工資。
　　方法三：取中間的數。
　　方法四：取出現次數最多的數。
　　……
　　正是由于教師對學情的精確把握和對問題的充分預設，才能生成許多新穎的算法和有趣的“數”，這樣的探究活動才是真實而富有活力的。
　　四、 問題設計要撥動思維波瀾
　　教學的藝術，在于教師對學生的激勵與喚醒。問題設計時，要充分考慮學生的需要，以引起學生的好奇心和探究欲，引發思維碰撞。
　　《素數與合數》教學片段：
　　師生通過演示、操作及交流，發現用3個正方形能拼出1種長方形，用4個正方形能拼出2種長方形，用12個正方形能拼出3種長方形。
　　師：如果給出的正方形越多，那能拼出的長方形個數怎樣？
　　生（異口同聲地）：會越多——
　　教師一聲不吭，課堂里靜了下來，學生陷入思考……過了一會兒，學生間“騷動”起來，漸漸地，一些小手舉了起來。
　　生1：不一定，4個正方形能拼出2種長方形，但5個正方形只能拼出一種長方形。
　　師：這位同學舉的例子，好不好？
　　生：好！
　　師：好在哪里？
　　生：給出的正方形越多，拼出的長方形個數不一定越多。
　　師：同學們，用小正方形拼長方形，有時只能拼一種，有時卻不止一種。你覺得當小正方形的個數是什么數的時候，只能拼出一種長方形？
　　……
　　“問題設計”應根據學生需求，著眼學生“最近發展區”，精心布局，適時呈現，撥動學生的思維波瀾。
　　五、 問題設計要提升思維品質
　　問題設計時要注重學生思維品質的提升，要充分預設學生解決問題的思維過程和教師的引領策略。如教學《速度、時間與路程》，教師不應滿足于記憶路程、時間與速度的數量關系，而應通過各類問題的解決過程，完善和深化對三者之間數量關系的認識，并通過拓展應用來提升解決問題的能力。朱德江老師的《速度》一課中設計了這樣一個問題情境：
　　“世博軸”是中國2010年上海世博會主入口和主軸線，全長約1000米。羅叔叔9：22入園后，以100米/分的速度趕往慶典廣場。他能在9：30到達慶典廣場嗎？
　　筆者覺得這個問題情境非常適合學生拓展練習，于是設計了兩個問題：
　　他能在9：30到達慶典廣場嗎？你是怎樣思考的？
　　你能從幾個方面解決問題？
　　學生經過獨立思考、合作探究后，漸漸有了下列解決途徑：
　　方法一：（從計算時間人手）羅叔叔以100米/分的速度走完1000米，需要10分鐘，而9：22經過10分鐘已是9：32，遲到了2分鐘，顯然不能準時到達。
　　方法二：（從計算路程入手）羅叔叔從9：22入園到9：30趕到慶典廣場，還有8分鐘時間，按100米/分計算，可行800米，而800米小于1000米，顯然不能準時到達。
　　大部分學生想到了這兩種方法，個別學生從教師引導語“從計算時間入手，從計算路程入手”得到啟發，想到了第三種，從計算速度入手：
　　方法三：羅叔叔如果要在8分鐘內（9：22～9：30）趕到慶典廣場，他的速度至少達到“1000÷8=125米/分”，而羅叔叔的速度只有100米/分，所以不能準時到達。
　　在設計問題時，教師已經估計到方法三的提出對學生可能存在困難，所以在評價“方法一、方法二”時有意加上“從計算時間人手……”，目的就是引導學生從這三個量的角度去思考問題。教學時教師應充分尊重學生解決問題的不同思考，剖析不同方法背后對于速度、時間與路程的理解，既鞏固了學生對數量關系的認識，又提升了學生解決實際問題的能力，促進了學生思維品質的提升。
　　總之，要使學生的探究真實有效，教師就要精心設計問題，并能創設情境幫助學生發現問題，提出問題，使問題成為有效探究