對一道測試題的錯解剖析與拓展

　　摘要：本文以一道測試題為例，闡述教師在教學時，對錯解的題目中的條件要素與條件要素之間、條件要素與結論要素之間，特別是文字語言與圖形語言之間的那種表面上的、隱蔽的關系，如何通過思維的創造公開化將其表示出來，并對相關問題進行了拓展延伸．
　　關鍵詞：錯解；剖析；拓展
　　
　　圓錐曲線在高考中是必考的解答題，解題過程中往往會遇到大量的代數運算，因此在平時的教學過程中，教師一般會強調結合圓錐曲線的定義和平面幾何性質去解題，可以大大減少計算量，提高解題效率． 這是好事，但如果對圖中的所有可能情形考慮不全，有時就會適得其反． 下面以一道測試題為例，希望引起同仁的關注．
　　測試題目：從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于點P，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則MO－MT與b－a的關系為（）
　　A． MO-MT＞b－a
　　B． MO－MT=b－a
　　C． MO－MT＜b－a
　　D．不確定
　　
　　圖1
　　錯解：設雙曲線的右焦點為F2，連結OM和PF2，由 M為線段FP的中點和O為兩焦點FF2的中點得MO=PF2． 由FP的中點M在切點T的右側得MT=MF-FT=?PF-FT，故MO－MT=PF2-PF-FT=（PF2-PF）+FT ．由雙曲線的定義和P在右支上知PF2-PF=－2a，由相切得在直角三角形FTO中，FT===b，所以MO-MT=（－2a）+b=b-a. 故此題選B．
　　剖析：上面的思路是由中點M想到O是兩焦點的中點，利用三角形中位線這一平面幾何性質和雙曲線的定義求解，這樣做確實很簡單，幾乎沒有計算量．這可能是許多高中數學教師的想法，也可能是命題人的意圖． 但是我們注意到這個選擇題中有答案D“不確定”，所以我們自然會提出問題：由給出的圖知線段FP的中點M在切點T的右側，那么一定在右側嗎？可不可以在左側？可不可以重合？結果又會怎樣呢？
　　①當線段FP的中點M在切點T的右側時，如圖1所示，上面已求得MO-MT=b-a.
　　②當線段FP的中點M在切點T的左側時，如圖2所示，MO=PF2不變，FT=b不變，發現MT=FT-MF=FT-PF變了，此時MO-MT=PF2-FT-PF=（PF2+PF）-FT=（PF2+PF）-b，由雙曲線的定義和P在右支上知PF=PF2+2a，此時MO-MT=（PF2+PF2+2a）-b=PF2+a-b，無法確定和b-a的大小關系． 此時好像進入了死胡同，但是當我們回過來看一下MO=PF2，MT=b-PF時，我們感覺要想利用雙曲線的定義，計算MO-MT肯定不好，最好計算MO+MT，此時MO+MT=b+（PF2-PF）=b+（－2a）=b-a，到此結果水落石處，顯然所求的MO-MT＜MO+MT，即MO-MT＜b-a．
　　③當線段FP的中點M和切點T重合時，如圖3所示，結果如何呢？
　　我們可能會犯習慣性思維的錯誤，認為MO-MT＞b-a，果真如此嗎？我們來看一下.
　　MO=OT=a，MT=0，此時MO-MT=a．由 M為線段FP的中點和O為FF2的中點得MO=PF2，即PF2=2a． 又PF=2FM=2b，由雙曲線的定義和P在右支上知PF-PF2=2a，即2b-2a=2a，即b-a=a，所以此時MO-MT=b-a．
　　綜上，此題選D．
　　點評：1. 由中點M想到O是兩焦點的中點，利用三角形中位線這一平面幾何性質和雙曲線的定義求解，這確實是一個好的解題思路，但容易漏掉后面兩種情形，特別是處理第2種情形時思維跨度比較大．
　　2. 因為這是一個選擇題，所以有另一種解法：看到MO-MT，易想到△MTO中兩邊之差的絕對值小于第三邊，從而有MO-MT≤TO，即MO-MT≤a（當且僅當M和T重合時取“=”）． 我們可以先看M和T重合時，易得b=2a，MO-MT=b-a. 因為答案D為不確定，所以還得再看M和T不重合的情形，b≠2a，即b＞2a或b＜2a，而當b＞2a時，b-a＞a，因為MO－MT＜a，所以此時MO-MT＜b-a． 到此顯然選D．
　　拓展1：從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于點P，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則MO－MT的值是__________．
　　分析一：由中點M想到O是兩焦點的中點，利用三角形中位線這一平面幾何性質和雙曲線的定義進行求解．
　　解法一：①當線段FP的中點M在切點T的右側時，上面已求得MO-MT=b-a. （直角三角形中，斜邊MO＞直角邊MT，得MO-MT＞0，即b＞a；由三角形中兩邊之差的絕對值小于第三邊得MO-MT＜TO，即b-a＜a，即b＜2a，故此時a＜b＜2a）.
　　②當線段FP的中點M和切點T重合時，上面已求得MO-MT=b-a（b=2a）.
　　③當線段FP的中點M在切點T的左側時，由上面得到MO+MT=b-a，發現在直角三角形MTO中MO2－MT2=TO2=a2，從而MO-MT==（由直角三角形中斜邊MO＞直角邊MT得MO-MT＞0，即＞0，即b＞a；由三角形中兩邊之差的絕對值小于第三邊得MO-MT＜TO，即＜a，即b＞2a，所以此時b＞2a）．
　　綜上，當線段FP的中點M在切點T的左側，即b＞2a時，MO-MT=；
　　當線段FP的中點M在切點T的右側，即a＜b＜2a時，MO-MT=b-a；
　　當線段FP的中點M和切點T重合，即b=2a時，MO-MT=b-a．
　　分析二：在直角三角形MTO中，已知一直角邊TO=a，要求的是斜邊MO減去另一直角邊MT，只要求出其中一個，另一個由勾股定理求之．考慮先求MO，就是求PF2，可在△PF2F中由余弦定理求解．
　　解法二：在Rt△FTO中，cos∠TFO==．
　　在△PF2F中，設PF2=x，則PF=x+2a，FF2=2c，由余弦定理得cos∠PFF2==，化簡得（b-a）x=a2+c2－2ab，將c2=a2+b2代入得（b-a）x=2a2+b2－2ab=a2+（b－a）2（顯然b-a>0，若b-a≤0，上述方程無解），故x==b－a+，MO=PF2=x=b－a+，
　　在Rt△MTO 中，TO=a，由勾股定理得MT=====（b－a）－=（b-a）-（b>2a），-（b-a）（a　　綜上，當b＞2a時，MO-MT=；當a＜b≤2a時，MO-MT=b-a．
　　點評：解法一雖然簡單，但容易漏掉其他情形，且點M在左側時的處理方法很難想到；解法二雖然計算量相對大一點，但比較保險、全面． 另外由上面的兩種解法容易得到以下兩個命題．
　　拓展2：從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于點P，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則MO+MT與b－a的關系為（）
　　A． MO+MT＞b－aB． MO+MT=b－a
　　C． MO+MT＜b－aD． 不確定
　　提示：參考上面測試題的兩種解法均可得答案D． 具體大小關系如下：當線段FP的中點M和切點T重合或在左側時，MO+MT=b-a；當線段FP的中點M在切點T的右側時，MO+MT＞b-a．
　　拓展3：從雙曲線－=1（a＞0，b＞0）的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于點P，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則MO+MT的值是__________．
　　提示：參考上面拓展1的兩種解法均可得，當線段FP的中點M在切點T的左側，即b＞2a時，MO+MT=b-a；當線段FP的中點M在切點T的右側，即a＜b＜2a時，MO+MT=；當線段FP的中點M和切點T重合，即b=2a時，MO+MT=b-a．
　　反思：在高考模擬題或預測題中，命題者確實給我們提供了不少考查思維能力的好題，如上面的測試題和拓展題，作為一線教師的我們不能只局限于參考答案，做一做差不多就行了，而要通過思維的創造將隱蔽的聯系公開化，也就是多給自己一點時間去思考，從多個角度去分析問題，多跟其他教師交流，課堂上多讓學生去提出問題、發表見解，多給自己一點時間去反思、總結，也許問題就會解決得比較簡潔、透徹和完美了．