橫看成嶺側成峰 導數巧解建奇功

　　摘要：在現行的高中數學教材中，導數作為新增內容，為高中數學教學和解題注入了強大的活力，是聯系多個章節內容和解決相關問題的有力武器，使數學解題渠道多樣化、靈活化，新穎別致，自然流暢. 本文以2011年四川高考數學理科第20題為例，談談如何利用導數思想巧妙解題．
　　關鍵詞：導數；高考；解題
　　
　　
　　高考回放
　　例1設d為非零實數，an=［Cd+2Cd+…+（n-1）Cdn-1+nCdn］（n∈N*）
　　（1）寫出a1，a2，a3，并判斷｛an｝是否為等比數列． 若是，給出證明；若不是，說明理由．
　　（2）設bn=ndan（n∈N*），求數列｛bn｝的前n項和Sn．
　　解：（1）由已知可得a1=d，a2=d（1+d），a3=d（1+d）2，an=［Cd+2Cd+…+（n-1）?Cdn-1+nCdn］．
　　設f（x）=（1+x）n，由二項式定理有
　　f（x）=（1+x）n=C+Cx+Cx2+…+Cxn，
　　f ′（x）=n（1+x）n-1=C+2Cx+…+（n－1）Cxn-2+nCxn-1．
　　令x=d，則n（1+d）n-1=C+2Cd+…+（n－1）Cdn-2+nCdn-1，
　　故an=［Cd+2Cd2+…+（n-1）C?dn-1+nCdn］
　　=［C+2Cd+…+（n-1）?Cdn-2+nCdn-1］
　　=n（1+d）n-1
　　=d（1+d）n-1．
　　當d=－1時，a1=－1，an=0（n≥2），此時｛an｝不是等比數列；
　　當d≠－1時，｛an｝是以d為首項，d+1為公比的等比數列．
　　（2）當d=－1時，Sn=b1=nda1=1．
　　由（1）可知，an=d（1+d）n-1，從而bn=nd2（1+d）n-1，
　　所以當d≠－1時，Sn=b1+b2+b3+…+bn=d2［1+2（1+d）+3（1+d）2+…+n（1+d）n-1］.
　　注意到d≠0且d≠－1，
　　于是令f（x）=（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n
　　=
　　=（x≠0且x≠－1）．
　　下面關于x求導，有
　　f′（x）=［（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n］′=1+2（1+x）+3（1+x）2+…+n（1+x）n-1，
　　因為′=，
　　令x=d，則
　　1+2（1+d）+3（1+d）2+…+n（1+d）n-1=.
　　所以
　　Sn=d2［1+2（1+d）+3（1+d）2+…+n（1+d）n-1］
　　=d2
　　=（1+d）n（nd－1）+1．
　　評析：這道高考題以數列知識為背景，第1問的原解答用到組合數公式kC=nC來進行代換，然而很多考生沒有想到或沒有記住這個公式，所以給解題帶來了極大的困惑． 第2問考查錯位相減法求和．此題全省平均得分為2.49分，得分較低． 然而我們通過求導的思想巧妙地使問題迎刃而解，較好地體現了不同的思想方法給我們解題帶來的靈活性，開闊了視野．
　　
　　習題重現
　　在平常的教學中，如果能夠在解決問題的時候，有意識地從不同渠道來思考問題，那么對我們解題能力的提高是非常有幫助的，用導數思想研究問題在人教版教材上有這樣的原型，如以下兩道習題．
　　習題一 求和：1+2x+3x2+…+nxn-1．
　　解當x=1時，S=1+2+3+…+n=；
　　當x≠1時，令f（x）=x+x2+x3+…+xn，則
　　S=f′（x）=1+2x+3x2+…+nxn-1．
　　因為f（x）=x+x2+x3+…+xn==，
　　而′=－，
　　所以S=－.
　　故當x=1時，S=；當x≠1時，S=－．
　　習題二 證明恒等式C+2C+3C+…+nC=n?2n-1．
　　證明：構造二項式函數f（x）=（1+x）n，
　　二項式定理有f（x）=（1+x）n=C+Cx+Cx+…+Cxn，
　　對x求導，有f′（x）=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn-1．
　　因為［（1+x）n］′=n（1+x）n-1，令x=1，有C+2C+3C+…+nC=n?2n-1．
　　
　　探究繼續
　　例2求和：4C+5C+…+（n+3）C．
　　解：x3（1+x）n=Cx3+Cx4+Cx5+…+Cxn+3，
　　將兩邊同時對x求導，
　　得3x2（1+x）n+x3?n（1+x）n-1=3Cx2+4Cx3+5Cx4+…+（n+3）Cxn+2．
　　令x=1，得
　　3?2n+n?2n-1=3C+4C+5C+…+（n+3）C，即原式=（n+6）?2n-1－3．
　　評析：本題若用常規模式求和，則對技巧性要求很高，然而，通過構造二項式，利用導數的思想居高臨下來研究，問題就變得容易多了．
　　通過上述幾個例子，反映了導數思想解決問題的獨特性，這對于我們開拓思路，培養和提高分析問題、解決問題的能力有事半功倍之效．