等比數列復習中易錯點的分析與對策
2011-12-29 00:00:00李青青
數學教學通訊·高中版 2011年10期
摘要：等比數列是高中階段一種重要的數列模型，也是高考重要考點之一，本文結合筆者在一輪復習教學過程中的感受和啟發淺談等比數列中的易錯問題．
關鍵詞：等比數列；等差數列；規律總結；參考方略與突破
等比數列是高中階段一種重要的數列模型，也是高考重要考點之一，筆者結合一輪復習教學過程中的感受和啟發淺談等比數列中的易錯問題，并就錯誤原因分析與應對、例題解析、參考方略與突破這三個方面作簡要總結．
易錯點分類剖析
易錯點1混淆等比數列與等差數列的性質
例1各項均為正數的等比數列｛ａn｝的前n項和為Sn，若Sn=2，S3n=14，則S=_______．
解析：設S2n=x，S2n－Sn=x－2，S3n－S2n=14－x，由Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列，得（x－2）2=2（14－x），即x2－2x－24=0，解得x1=－4（舍），x2=6，即S2n=6． 數列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的公比為2，所以S4n－S3n=2?23=16，所以S4n=16+S3n=30．
誤區1：錯認為Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…為等差數列；
誤區2：把此性質錯認為Sn，S2n，S3n，…為等比數列．
易錯點2 思維定式致使出錯
例2設等比數列｛ａn｝的公比為q，前n項和Sn>0（n∈N*）．
（1）求q的取值范圍；
（2）設bn=an+2－an+1，記｛bn｝的前n項和為Tn，試比較Sn和Tn的大小．
解析：（1）因為｛ａn｝是等比數列，Sn>0，可得a1=S1>0，q≠0． 當q=1時，Sn=na1>0；當q≠1時，Sn=>0，即>0?圳1－q<0，1－qn<0，①或1－q>0，1－qn>0.②
解①得q>1；解②，由于n可為奇數，也可為偶數，得－1
（2）由bn=an+2－an+1得
bn=anq2－q，T=q2－qSn，于是Tn－Sn=Snq2－q－1=Snq+（q－2）． 又S>0，且－1
誤區2：在比較Sn與Tn的大小時，直接作差，造成計算量大、不易求解．
易錯點3混淆等比數列的肯定與否定的證明
例3等差數列｛ａn｝的前n項和為Sn，a1=1+，S3=9+3．
（1）求數列｛ａn｝的通項an與前n項和Sn；
（2）設bn=，求證：數列｛ｂｎ｝中任意不同三項都不可能成為等比數列．
解析：（1）由已知得a1=+1，3a1+3d=9+3，所以d=2，故an=2n－1+，Sn=n（n+）．
（2）由（1）得bn==n+． 假設數列｛ｂn｝中存在三項09e87c450388b21eda997f9e16c8bb87bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比數列，則b=bpbr，即（q+）2=（p+）（r+），所以（q2－pr）+（2q－p－r）=0． 因為p，q，r∈N*，所以q2－pr=0，2q－p－r=0， 所以2=pr，（p－r）2=0，所以p=r，這與p≠r矛盾，所以數列｛ｂn｝中任意不同三項都不可能成為等比數列．
誤區1：證明數列為等比數列或數列任意三項不成等比數列時只證特殊項滿足條件；
誤區2：證明數列不是等比數列時，大費文章說明任意項為等比數列．
易錯點4 忽視“項”的位置
例4在等差數列｛ａn｝中，公差d不為0，a2是a1與a4的等比中項． 已知數列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比數列，求數列｛ｋn｝的通項kn．
解 析：依題設得an=a1+（n－1）d，a=a1a4，所以（a1+d）2=a1（a1+3d），整理得d2=a1d． 因為d≠0，所以d=a1，所以an=nd． 由已知得d，3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比數列，有d≠0，所以數列1，3，k1，k2，…，kn，…也是等比數列，首項為1，公比為3，由此得k1=9． 等比數列｛ｋn｝的首項k1=9，公比q=3，所以kn=9×qn-1=3n+1．
誤區：在由an為等差數列中的項寫出akn關于d的表達式時，對akn為｛ａn｝中的第幾項判斷有誤．
易錯點5等比數列求和忽視“q=1”的討論
例5在等差數列｛ａn｝中，a1=1，前n項和Sn滿足條件=，n∈N*．
（1）求數列｛ａn｝的通項公式；
（2）記bn=anpan（p>0）， 求數列｛ｂn｝前n項和Tn．
解析：（1）設等差數列｛ａn｝的公差為d，由條件知S1=a1=1，S2=3S1=3，a2=S2－S1=2，所以an=n．
（2）由（1）得bn=anpan=npn，所以Tn=p+2p2+…+（n－1）pn-1+npn． ①
當p=1時，由①式得Tn=1+2+…+n=；當p≠1時，在①式兩邊同乘以p，得到pTn=p2+2p3+…+（n－1）pn+npn+1． ②
①-②，得（1－p）Tn=p+p2+p3+…+pn－npn+1=－npn+1，所以Tn=－．
綜上所述，Tn=，p=1，－，p≠1.
誤區1：解題中忽視“特殊數列”；
誤區2：用“錯位相減法”求和時，“錯位”出錯．
規律總結與應對
1. 規律總結
（1）在利用等比數列中的基本量——a1，q，n，an，Sn列方程組解題過程中，尤其是未知元多，而方程少于未知元個數時，要注意整體代換思想的應用．
（2）注意分類討論的思想在解決數列前n項和或求參數取值范圍中的作用，涉及正整數n的不等式一定要考慮是否對n為正整數分情況求解．
（3）正確理解等比數列的概念． 注意理解“公比q≠0”，等比數列的每一項都不為0，即an≠0．
（4）在應用等比數列的前n項和公式求和時不要死記公式，要注意求和的數列有多少項． 注意當q=1時，Sn=na1；當q≠1時，．
（5）要注意錯位相減法求和的實質——構造等比數列求和． 應用此法求和時要注意用錯位相減法所得的新數列求和表達式中的等比數列求和部分的首項、公比及項數．
2. 應用指導
（1）等比數列與等差數列有很多類似的性質，因此在學習的時候應該把等比數列與等差數列進行類比． 通過復習等差數列的定義和性質去學習理解等比數列的定義和性質，在學習中注意理解等差數列中的“差是個常數”與等比數列中“比是一個常數”．
（2）解決等比數列有關問題的常見思想方法．
①方程的思想． 等比數列中有五個量a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）求關鍵量a1和q．
②數形結合的思想． 通項an=a1qn-1可化為an=qn，因此，an是關于n的函數，即｛ａn｝中的各項所表示的點（n，an）在曲線y=qx上是一群孤立的點．
③分類討論思想．等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，此處是常考的易錯點．
（3）已知三個數成等差數列時，可設三個數為a，aq，aq2，也可設為，a，aq；若四個數成等比數列時，可設為，，aq，aq2．
（4）一般地，若數列｛ａn｝為等差數列，｛ｂn｝為等比數列且公比為q，求數列｛an?bn｝的前n項和，可用錯位相減法．
參考方略與突破
1. 注意“整體代換”思想的應用
整體代換，求比值的方法在處理數列問題及其他有關數學問題時經常用到，如例1可用基本量求解． 由已知可列兩個方程組成的方程組，但方程組中有三個量，要獨立求出三個量是不可能的，進行整體代換可使問題得到解決．
2. 明確等比數列的概念是證明數列為等比數列或非等比數列的前提
判定一個數列是等比數列，不能只驗證數列的前幾項；等比數列的判定有如下幾種方法：
（1）定義法：=q（q是不為0的數，n∈N*）?圳｛ａn｝是等比數列．
（2）通項公式法：an=cqn-1（c，q均為不為0的數，n∈N*）?圳｛ａn｝是等比數列．
（3）等比中項公式法：a=an?an+2?（an+1?an?an+2≠0）?圳｛ａn｝是等比數列．
（4）前n項和公式法：Sn=qn－=kqn－k（k=是常數，且q≠0，q≠1）?圳｛ａn｝是等比數列．
3. 注意等比數列性質的應用
（1）m，n，p，q∈N*，若m+n=p+q，則am，an，ap，aq的關系為aman=apaq，特別地，a1an=a2an-1=…．
（2）等比數列｛ａn｝的單調性：
當a1>0，q>1或a1<0，0
（3）若｛ａn｝和｛bn｝均是等比數列，則｛manbn｝（m≠0）仍是等比數列．
（4）等比數列中依次k項和成等比數列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數列，其公比為qk．
（5）等比數列中依次k項積成等比數列，記前n項積為Tn，即Tk，，，…成等比數列，其公比為qk2.
4. 識別題目類型，正確選擇求和方法
（1）若數列｛ａn｝為等差數列，｛bn｝為等比數列且公比為q，求數列｛ａnbn｝前n項和可用“錯位相減法”．用此法時注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時，應特別注意將兩式錯位對齊，以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式． ②應用等比數列求和公式時必須注意公比q≠1這一前提條件．
（2）裂項相消法實質是將數列中某些項分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的．
如果數列的通項公式可以寫成f（n－1）－f（n）的形式常用裂項求和的方法．特別地，當數列形如，其中｛ａｎ｝是等差數列時，也可用此法． 此法主要有如下兩種類型：①分式形式=?－；
②根式形式=?（－）．
