探索作正方體節約材料的一個問題

　　摘要：本文討論了如何從圓形材料中剪出6個小正方形拼接成體積最大的正方體. 本文采用的是列舉法，給出了8中可能的裁剪方法并進行比較，得到一種具有實際意義的裁剪法.
　　關鍵詞：圓；正方形；最大
　　
　　正方體是生活中常見的物體. 假設現在有圓形材料，其半徑為R，圓心為O，如果不計接口的材料費用，需要剪出6個小正方形來作正方體的側面，應該怎樣剪才可以使作出的正方體體積最大？下面對可能的幾種情況分步討論. 小正方形的邊長就是正方體的棱長，設為x.
　　情況一：
　　AB是圓的直徑，長度為2R. 所以有（2x）2+（3x）2=（2R）2，得到x=R≈0.555R.
　　
　　情況二：
　　AO是半徑，長度為R，AB，BO長度分別為x，2x，所以有x2+（2x）2=R2，得到x=R≈0.485R.
　　情況三：
　　AB是圓的直徑，長度為2R. 所以有（3x）2+（3x）2=（2R）2，得到x=R≈0.471R.
　　情況四：
　　AC=x，BD=x，AO=BO=R，
　　于是CO=，DO=.
　　又CO+DO=+=3x，解得x=R≈0.526R.
　　情況五：
　　AO=BO=R，AB=x，CD=R，易得BO=3x－R.又x2+3x－R2=R2，解得x≈0.556R.
　　
　　情況六：
　　AO=CO=R，AB=x，CD=x，于是BO=，DO=.
　　又BO+DO=+=3x，解得x≈0.588R.
　　情況七：
　　AB=x，易得AO=2x+x.
　　又2x+x2+x2=R2，解得x≈0.401R.
　　
　　情況八：
　　AB=2R，AC=x，BC=4x，
　　又x2+（4x）2=（2R）2，解得x=R≈0.485R.
　　可能的情況列舉了這么多，綜合上面的論證，可看出情況六得到的小正方形邊長約為0.588R，是所有情況中最大的，用這種方法作的小正方體體積也最大，充分利用了材料，有重要的實際意義.
　　上面的討論過程，每種情況蘊涵著重要的數學方法，在命題、教學與提高學生實踐能力上面都有重要的意義.本文是通過列舉的方式討論的，重點在于給出一些可能的情況，其得到的結論“正方體的最大邊長約為0.588R”是否為理論上的最大值是沒有嚴格證明的.