直角三棱錐的性質綜述

　　摘要：本文定義三個側面兩兩互相垂直的三棱錐稱為直角三棱錐，筆者通過深入探究，給出直角三棱錐的若干性質，并證明這些性質結論的正確性，供同行教學參考.
　　關鍵詞：直角三棱錐；定義；性質；證明
　　
　　定義：三個側面兩兩互相垂直的三棱錐，稱為直角三棱錐
　　直角三棱錐在高三復習立體幾何時經常遇到，學生非常熟悉它的一些基本性質：三條側棱兩兩互相垂直，相對棱互相垂直；其中一條側棱垂直于另外兩條側棱所在側面；頂點在底面上的射影是底面三角形的垂心；底面三角形為銳角三角形；體積等于側棱長乘積的；外接球半徑的平方等三條側棱長的平方和的. 除此之外，本文再介紹一些棱長與高，側面積與底面積，側面或側棱與底面所成的角，內切球半徑等之間的關系.
　　如圖1，記直角三棱錐P－ABC的側棱PA=a，PB=b，PC=c，頂點P在底面△ABC內的射影為O，高PO=h，內切球半徑為γ，△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面積分別是S1，S2，S3和S.
　　
　　圖1
　　性質1：=++.
　　證明：如圖1，易證PD⊥AB，PO⊥DC，PC⊥PD. 于是PO=，PD=，從而==，因此=++.
　　性質2：S+S+S=S2.
　　證明：如圖1，S=AB?CD=??
　　=
　　=
　　=，
　　于是S2=S+S+S.
　　性質3：=+++.
　　證明：如圖1，VP-ABC=abc=S1γ+S2γ+S3γ+Sγ，整理得=.又S2=S+S+S=2+2+2，故2S=. 于是==+++=+++.
　　性質4：S=S?S△AOB，S=S?S△BOC，S=S?S△AOC.
　　證明：如圖1，S=AB2?PD2，S△AOB=AB?DO，S=AB?DC.
　　又PD⊥PC，PO⊥DC，所以PD2=DO?DC. 于是S=S?S△AOB.
　　同理可證，S=S?S△BOC，S=S?S△AOC.
　　性質5：直角三棱錐的側面與底面所成角的余弦的平方和等于1.
　　證明：如圖1，不妨設側面PAB，PBC，PAC與底面ABC所成角分別為α，β，γ，則cosα=，cosβ=，cosγ=. 于是cos2α+cos2β+cos2γ=++=++==1.
　　推論：如果直角三棱錐的側棱長相等，則側面與底面所成角的余弦值均為.
　　性質6：直角三棱錐的底面與其中一側面所成角的正切的平方等于底面每一條邊與該側面所成角的正切的平方和.
　　證明：如圖1，不妨設底面ABC與側面PAB所成的角為θ，邊CA，CB，AB與側面PAB所成的角分別為θ1，θ2，θ3，易證∠PDC=θ，∠CAP=θ1，∠CBP=θ2，θ3=0. 因為PD?AB=PA?PB，AB2=PA2+PB2，所以PD2==. 于是tan2θ===+=tan2θ1+tan2θ2. 又因為tanθ3=tan0=0，從而tan2θ=tan2θ1+tan2θ2+tan2θ3.
　　性質7：設點Q是直角三棱錐P－ABC的底面上一點，則
　　（1）PQ的平方等于點Q到各側面的距離的平方和；
　　（2）PQ與側棱所成角的余弦的平方和等于1；
　　（3）PQ與側面所成角的余弦的平方和等于2.
　　分析：當Q在底邊上時，易證結論成立；當Q不在底邊上時，過點Q作三個平面分別平行三個側面，它們與三個側面圍成一個長方體，且QP為長方體的對角線，從而由長方體的性質即可獲證.
　　性質8：直角三棱錐的側棱與底面所成角的余弦的平方和等于2.
　　分析：如圖1，設側棱PA，PB，PC與PO所成的角依次為α′，β′，γ′，與底面ABC所成角依次為φ1，φ2，φ3，由性質7（2）知，cos2α′+cos2β′+cos2γ′=1. 又由于φ1，φ2，φ3分別與α′，β′，γ′互余，故可得cos2φ1+cos2φ2+cos2φ3=2.
　　性質9：直角三棱錐的底面每一條邊與三條側棱所成的角的余弦的平方和等于1，與三個側面所成角的余弦平方和等于2.
　　分析：如圖1，底面邊AB與側棱PA，PB所成的角為Rt△PAB的兩銳角，又由AB⊥PC，易證結論成立.
　　性質10：設直角三棱錐P－ABC內任一點M到平面PBC，PAC，PAB，ABC的距離分別為d1，d2，d3，d4，則+++=1.
　　證明：如圖1，因為==，所以同理可得=，=，=.
　　于是+++===1.