數形結合思想在解題中的應用

　　摘要：在中學階段，數形結合思想的應用十分廣泛，它作為一種重要的數學思想方法，能很好地把各部分內容聯系起來，并貫穿于中學數學的整體思路中. 本文結合教學實踐，通過在基本知識的教學和基本題目的求解中不斷地滲透數形結合思想，培養學生的邏輯思維，提高學生的解題能力.
　　關鍵詞：數形結合；思維習慣；解題能力
　　
　　數形結合思想是指將數與圖結合起來解決問題的一種思維方式，著名數學家華羅庚曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，這就是在強調把數和形結合起來的重要性. 對于初中學生而言，他們的思想還停留在“數”上，完全沒有“形”的概念，因此在教學過程中，要不斷滲透數形合思想，讓他們養成畫圖的習慣，利用圖形來解題.“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性，我們認為，數形結合主要指的是數與形之間的一一對應關系. 數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的.
　　在人教版七年級上《有理數》里面用數軸上的點來表示有理數，就是數形結合思想方法的體現，結合數軸表示有理數，能幫助學生較好地理解有理數的絕對值、相反數等概念，以及進行兩個有理數的大小比較，特別是含有字母、沒有具體數字的題目，學生經常不知從哪下手，其實只要借助圖形，就可以把抽象問題直觀化，達到簡化的目的.
　　例1已知有理數a，b，c在數軸上的位置如圖1所示，且a=b，化簡a－a+b－c－a+c－b+ac－－2b.
　　分析：本題從圖1中可以很直觀地發現點a，b，c在數軸上的位置和與原點的位置關系，b，c在原點的左側，并且c離原點的距離更長，a點在原點的右側，可以判斷這三個點的符號，而去掉絕對值的關鍵在于絕對值內數的符號.
　　
　　圖1
　　解析：從數軸上看，a，b分別位于原點的左右兩側，且a=b，因此，a和b互為相反數，可得a+b=0. 因為a>0，所以a=a；因為c0，c<0，所以ac<0，ac= －ac. 因為b<0，所以－2b>0，-2b=－2b.
　　因此，a－a+b－c－a+c－b+ac－－2b=a－0+（c－a）－（c－b）－ac+2b=3b－ac.
　　在《有理數》數軸的學習中，培養畫圖、看圖的習慣能為下階段的學習打下基礎. 在人教版七年級下《平面直角坐標系》中，就是從一條數軸升華成一個平面直角坐標系，用一個有序數對表示坐標平面內的一個點，這是用代數的形式解決幾何的問題，具體求解多邊形面積的時候，就是數量關系與直觀幾何圖形、位置關系結合起來，“以形助數”或“以數解形”，因此，在教學過程中應再次強調數形結合思想的重要性.
　　例2四邊形OABC各個頂點的坐標分別為O（0，0），A（-2，8），B（-11，6），C（-14，0），計算這個四邊形的面積.
　　
　　圖2
　　分析：本題目要求四邊形的面積，這個四邊形不是特殊四邊形（平行四邊形、長方形、正方形、梯形），因此可以把這個四邊形切割成兩個三角形和一個梯形. 過A點作AE⊥x軸，垂足為點E，過B點作BD⊥x軸，垂足為點D，面積公式中的底和高就可以從圖中直接得出.
　　解析：如圖2所示，過A點作AE⊥x軸，垂足為點E（－2，0），過B點作BD⊥x軸，垂足為點D（－11，0）.
　　S△BCD=BD?CD=×6×3=9，
　　S梯形ABDE=（BD+AE）DE=×（6+8）×9=63，
　　S△AOE=AE?OE=×8×2=8，
　　S四邊形OABC=S△BCD+S梯形ABDE+S△AOE=9+63+8=80.
　　在《平面直角坐標系》基礎上，將繼續學習一次函數、反比例函數、二次函數，這是數學學習的難點，也是學生的痛點，問題在于如何把數量關系轉化為圖形性質，或者把圖形性質轉化為數量關系. 數形結合思想在解決函數問題中的重要性是特別突出的，我們要利用函數圖象來理解函數的性質和規律，而不是死記硬背“y隨著x增大而增大，或者y隨著x的增大而減小.”
　　例3在一次函數y=－x+3中，當y>3時，x的取值范圍是________.
　　當0　　
　　圖3
　　分析：本題如果直接從數的角度出發，對于初學函數的學生來說難以得出答案，從圖象上看卻形象直觀，易于學生理解.在教學中，要注意培養學生一個良好的習慣，遇到函數的題目，能畫圖的一定要畫圖，不斷滲透數形結合思想.
　　解析：當y>3時，圖象位于第二象限，因此x<0. 當0　　例4反比例函數y=圖象上有三個點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1　　A. y1　　C. y3　　
　　圖4
　　分析：如果本題學生死記硬背，利用“y隨著x增大而增大，或者y隨著x的增大而減小”，那就很容易得出錯解. “數缺形時少直觀，形少數時難入微”在本題里體現得淋漓盡致，只要把反比例函數的圖象畫出，把點的坐標落實在圖象上，根據數軸上的點從左到右是從小到大，從下到上也是從小到大，本題目的解就一目了然了.
　　解析：由x1　　在教學的過程中，教師要從一開始就培養學生畫圖的習慣，從數軸到平面直角坐標系再到函數圖象，把數形結合思想方法滲透到學生的腦海里，為日后學習其他知識打下扎實的基礎. 數形結合思想是一種可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數學思想方法. 要想提高學生運用數形結合思想的能力，需要教師耐心細致的引導，使學生學會聯系數形結合思想、理解數形結合思想、運用數形結合思想、掌握數形結合思想.