例談放縮受阻時的應對策略

　　摘要：放縮法是不等式證明的一種重要思想. 本文主要討論了在放縮過程中思路受阻時的四種應對策略：拆分放縮，修正放縮量，進行適度調整；適度限項放縮，糾正偏差；把握整體，進行適度放縮；轉化視角，改變途徑，進行有效放縮.通過對四種策略的探討，加深對放縮法的理解，更進一步地掌握放縮法的精髓，提高解決問題的能力.
　　關鍵詞：放縮；想法；適度
　　
　　放縮法是不等式證明的一種重要思想，學生解題時，常常因為各種原因導致思路受阻. 在放縮過程中，要么放得過大，要么縮得過小，差之毫厘，謬之千里，如何放縮達到預證目標是問題最大的難點. 探討采取何種策略、從何處切入、如何進行適度的調整，對于提高學生的解題能力十分重要.本文就此做一些探索.
　　
　　拆分放縮，修正放縮量，進行適度調整
　　放縮量的多少直接影響我們能否達到預證目標，因此應如何控制放縮量呢？應該按照一定的規律和需求，調整“間距”，使放縮的量精細化，即將放大過頭的量砍去，縮小過多的量補上，把握好火候.
　　例1 證明不等式<.
　　想法一怎么放縮？而且放縮后要可以求和.
　　回到題目中觀察，利用<=－，不等式可化為<－+－+…+－=－<.
　　想法二 思路正確，結果是放得過大了.什么原因？實際上原來的分母（2k+3）2=4k2+12k+9被縮小成（2k+1）（2k+3）=4k2+8k+3，分母縮小太多——分母縮小了4k+6.
　　想法三 能不能滿足既放大、又裂項的要求，而且不能放大得太多？有了！（2k+3）2>（2k+2）（2k+4），這樣分母只縮小數量1.
　　于是<==－，問題得以解決.
　　
　　適度限項放縮，糾正偏差
　　若每一項都放大或縮小一點點，累積起來就會放大或縮小很多，這將導致放縮結果出現偏差. 適度減少放縮的項，保留更多的項不被放縮，可以糾正偏差，逐步逼近預證目標.
　　例2 在數列｛an｝，｛bn｝中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數列，bn，an+1，bn+1成等比數列（n∈N*）.
　　（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測｛an｝，｛bn｝的通項公式，并證明你的結論；
　　（Ⅱ）證明：++…+<．
　　第1題解答過程略，得到a=n（n+1），bn=（n+1）2，下面證明第2題.
　　想法一 如果
　　===2－，那么，裂項成功，但不能相消.因為裂出來是2－+－+－+…+－，此時分母間隔1，不行；若間隔等于2，則可以相消.
　　想法二
　　==<=－. 此時，左邊為－+－+…+－<，放過頭了. 有沒有調整的辦法？有！放大的過程往后移一點.越是前面的項，放大時增大得越多. 原來的第一項從放大后成為. 鑒于這個道理，調整的辦法可以從第二項開始放.于是 +－+－+…+－=+－<+=.
　　啟示 從方法上來說，放縮過頭可以進行如下調整：一，使分母不要放得太過；二，放的過程適當后移. 于是想法就產生了——過頭是可以調整的.
　　
　　把握整體，進行適度放縮
　　整體放縮，不僅能減少放縮的項數，還可以有效地調整放縮量的精確度，減少誤差. 因此放縮的過程中要有強烈的目標意識和方向意識，圍繞目標進行聚焦式嘗試.
　　例3 已知｛an｝，an≥0，a1=0，a+an+1-1=a（n∈N*）． 記
　　Sn=a1+a2+…+an，Tn=++…+. 求證：當n∈N*時，（Ⅰ）ann－2；（Ⅲ）Tn<3.
　　第1、2小題略. 由（Ⅰ）得到數列是單調遞增的. 下證第3小題.
　　想法 該怎么放縮？運用等差、等比、裂項、錯位、倒序等方法中的哪一個進行求和？注意到分母的項數一點點多起來，且每一個括號內的數值一點點大起來，故可以運用等比數列進行放縮：
　　1+++…+<1+++…+==<==<3.
　　
　　轉化視角，改變途徑，進行有效放縮
　　有時放縮很難控制，思維容易陷入困境，此時不妨審時度勢，轉化視角，變換思維的角度，改變放縮的途徑和手段，利用數列的單調性等方法進行放縮，往往能收到柳暗花明之奇效.
　　例4 在數列｛an｝中，a1=6，an+1=an+1，在數列｛bn｝中，點（n，bn）在過點A（0，1）的直線l上，若l上兩點B，C滿足=（1，2）.
　　（Ⅰ）求數列｛an｝，｛bn｝的通項公式；
　　（Ⅱ）對任意正整數n，不等式－≤0恒成立，求正數a的取值范圍.
　　想法第1小題解答過程略，得到an=n+5，bn=2n+1；以下對第2小題進行求解.
　　對已知不等式變形得到a≤，要使不等式恒成立，只需要a小于等于的最小值.
　　設g（n）=，由于=>1，故｛g（n）｝單調遞增，則g（n）min=g（1）=，所以a∈0，.
　　啟示 如果只有方法的話，學生只會對號入座.對得上號的會做；對不上號的就不會做. 于是在很多情況下，學生聽得懂，做不來. 這需要教師認真剖析問題的根源在哪里，思考應如何解決. 只有讓學生學會自己抓住問題的本質，找準問題的切入點，在整體的高度上審時度勢，圍繞目標進行積極的探索嘗試，深度思考構建，學生的解題能力才能得到有效地提高.