構造法在三角函數式證明中的應用

　　摘要：本文主要討論了利用構造法把所求的三角函數相關問題與某個熟知的公式、定理、圖形等聯系起來，構造出一個與原問題有關的函數、方程、命題與圖形等數學形式，利用代數、三角、幾何等數學知識的相互滲透來促成問題的轉換或產生新的解題方法，以實現問題解決的目的，其中體現了較強的創造性思維特點.
　　關鍵詞：構造法；函數；方程；命題；圖形
　　
　　解題時由于某種需要，把題設條件中元素間的關系構造出來，或者構想這種關系在某個模型上得以實現，或者構想出某種關系或形式，能使問題按照新的觀點、新的角度去審視，從而使問題巧妙地獲得解決的方法，稱之為構造法. 構造法不僅表現出簡明、精巧、新穎等特點，而且使問題易于解決并具有較強的創造性思維，為此受到廣大師生的充分重視.在各省市歷年的高考試題特別是與函數有關的壓軸題中，常可見構造法的蹤影. 本文從函數、方程、命題和圖形等角度，展示構造法在三角函數式證明中的應用.
　　
　　構造函數法
　　構造函數法是以題設條件為對象，構想、組合出一種新的函數關系、多項式等具體形式，利用函數的單調性、奇偶性與極值等性質，使問題實現轉化而獲得解決的一種思想方法.
　　例1已知α，β是銳角，求證+>.
　　思路分析：欲證不等式中都含有形如“”的代數式，如果把“W”看成變化的數，則可構造函數f（x）=，x∈（0，+∞）.
　　證明：設函數f（x）=，x∈（0，+∞），易知f（x）在（0，+∞）上是增函數. 由α，β是銳角，得sinα+sinβ>sinαcosβ+cosαsinβ=sin（α+β），即sinα+sinβ>sin（α+β）>0. 于是>，而由=+易得+>>，問題得證.
　　
　　構造方程法
　　從形式或數量關系等角度，觀察、分析題設條件或欲證結論的特點，必要時可作適當的變量代換，以構造出一元二次方程，再運用方程理論或解方程思想使原問題得到解決，這種思想方法稱作構造方程法.
　　例2已知α≠kπ（k∈Z），求證（sin2α+csc2α）（cos2α+sec2α）≥.
　　思路分析：待證結論的左邊是一個同角三角函數的代數式，其正、余弦之間存在某些方便利用的性質，如sin2α+cos2α=1，sin4α+cos4α≤1，sin2αcos2α≤等等. 如果再以“數的眼光看式子”，左邊本質上是一個“數”，確切地說是一個不小于的數，故直接設左邊為m，方程就構造出來了.
　　略證：設（sin2α+csc2α）（cos2α+sec2α）=m. 令t=sin2αcos2α，則易知t≤. 化簡得關于t的一元二次方程t2－（m+2）t+2=0，解得t=.由t≤，得≤，解得m≥，所以（sin2α+csc2α）（cos2α+sec2α）≥.
　　
　　構造命題法
　　構造命題法是指當命題直接證明有困難時，可以考慮構造等價命題、輔助命題、引理，或者是更一般的命題，從而使問題得到解決的一種思想方法. 但應注意構造的新命題應是已經被解決了的或比原命題更容易解決的問題.
　　例3對任意正整數n，求證命題A：C－3C+32C－33C+…=sin成立.
　　思路分析：命題A的左邊在形式上似曾相識，是某個二項式的展開式，或者是展開式中的某個部分，而正數項與負數項交替出現，且右邊是一個與n有關的三角函數式，所以構想左邊是某個復數的二項式展開.因為左邊可化為C－C（）2+C（）4－C（）6+…，考慮乘以，恰恰右邊就有，于是找到等價的命題B，…
　　略證：構造命題A的等價命題B：（C－3C+32C－33C+…）=2nsin，再構造等價命題C：C－C（）3+C（）5－C（）7+…=2nsin.
　　由二項式定理得（1+i）n=1+Ci+C（i）2+C（i）3+…+C（i）n-1+（i）n，再由棣莫弗定理得（1+i）n=2ncos+isin，比較虛部得命題C成立，從而命題A得證.
　　
　　構造圖形法
　　用數形結合思想去分析題設條件中的數量關系，找出數量關系所蘊涵的幾何意義，以某種方式構想出幾何圖形，從而轉化為利用圖形的幾何性質去解決原問題，這樣的思想方法稱作構造圖形法.
　　例4已知a>b>0，求證a2（cosα－cosβ）2+b2（sinα－sinβ）2≤4a2.
　　思路分析：觀察欲證不等式的左邊，如果將a，b分別放進括號中，從幾何意義來看，問題將轉化為兩點間的距離表示.
　　略明：設點A（acosα，bsinα），B（acosβ，bsinβ），由兩點間距離公式知欲證不等式的左邊就是AB2. 繼續觀察知A，B都是橢圓+=1上的點，則弦AB的長應不大于長軸長，即AB≤2a， 所以兩邊平方即有a2（cosα－cosβ）2+b2?（sinα－sinβ）2≤4a2.
　　例5若0<α<β<，求證>.
　　思路分析：由于α，β都是銳角，且欲證不等式的左邊是兩個弧度角的比，而右邊是兩個正弦值的比，要實現弧度角與正弦值的轉換，容易聯想起單位圓.因為角α，β的終邊都在第一象限，通過單位圓可將角及正弦的比統一轉化為面積之比，從而獲得解題思路.
　　證明：構造單位圓的第一象限部分，角α，β的始邊放在x軸的正向.設角α，β的終邊分別交單位圓于A，B，延長AB交x軸于C. AE，BF分別垂直x軸，且交x軸于E，F兩點，作BD⊥AE于D，OG⊥AB于G.
　　由=，S扇形OBM1.易知△ABD～△BCF，即有=，而在單位圓中=>，==，所以>，即>.
　　用構造法解題的妙處在于不是直接去解決原問題，而是把所求問題與某個熟知的概念、公式、定理、圖形等聯系起來，構造出一個與原問題有關的函數、方程、關系式、命題、模型與圖形等，利用代數、三角、幾何等數學知識的相互滲透去促成原問題的轉化或產生新的解題方法，從而問題得以解決.