例談高中數學“換個角度”解題策略

　　摘要：在數學解題活動中，換個角度思考問題是數學的重要思想方法之一. 本文著重從局部與整體、抽象與具體、特殊與一般的互相轉化討論了換角度思考問題帶來的便捷，通過訓練強化學生換角度思考問題的能力，提高學生的解題能力和培養學生的創新意識和創造性思維.
　　關鍵詞：思想方法；解題策略
　　
　　在高中數學中，對于有些問題，我們應提倡學生換個角度思考，學生通過不同角度的思考所獲得的成功既可以使學生觸類旁通，激發其學習熱情，又能增強其自信與成就感. 在數學解題中，數學思想方法的精巧構思、奇異變換，無不給學生以美的陶冶. 筆者結合多年的教學經驗，就在解題方面對換個角度思考問題的類型進行了簡單的歸納、探索和整理，讓大家一起體驗換個角度思考問題的妙處所在.
　　
　　把握局部與整體
　　1. 從整體退到局部
　　有些問題，如果從整體上不便解決，可先研究其局部，局部問題的解決常常能促使問題整體得以解決.
　　例1試判斷函數f（x）=ln（+x）的單調性．
　　分析：此函數的定義域為R，直接用定義判斷f（x）在R上的單調性有一定的難度，注意到f（x）為奇函數，它在（-∞，0）和［0，+∞］上的單調性相同，就可以把判斷f（x）在R上的單調性問題轉化為判斷f（x）在［0，+∞］上的單調性，再用定義判斷就簡單多了.
　　2. 從局部退到整體
　　對于某些數學問題，我們可以不需要對條件與結論進行分解，也不需設立“中途點”去逐步逼近，而是全面地、整體地考慮問題，注意問題的整體結構，擺脫局部細節一時難以弄清的數量關系的困擾，整體把握，使問題簡潔明快得以解決.
　　例2求同時滿足下列三個條件的所有復數：
　　（1）z+是實數；
　?。?）1　　（3）z的實部和虛部都是整數．
　　分析本題如按常規方法求解，難度較大，若采用整體考慮的策略，可把z+當作一個整體而令z+=m，則得z2－mz+10=0. （*）
　　由（1）（2）知m∈R且1　　
　　抽象與具體
　　數學的一個基本特點是高度的抽象，有時問題比較抽象， 不易發現其內在的聯系和規律，要解決此類數學題，往往要換個角度思考，看能否將問題具體化來解決.
　　例3設任意實數x，y滿足x<1，y<1，求證+≥．
　　分析：本題從形式上、內容上看屬于不等式問題，一般采用算術平均數大于等于調和平均數來證，但它們的數量關系比較抽象，直接證明比較煩瑣，若能捕捉到待證式的具體意義，即能聯想到無窮遞縮等比數列｛a1qn｝的求和公式 a1+a1q+a1q2+…a1qn+…=，利用它來解決，則快捷、迅速.
　　由 x<1，y<1，知x2<1，y2<1，故?搖?搖?搖
　　+=（1+x2+x4+x6+…）+（1+y2+y4+y6+…）=2+（x2+y2）+（x4+y4）+（x6+y6）+…≥2+2xy+2x2y2+2x3y3+…=.
　　
　　特殊與一般
　　特殊與一般是對立的統一，在人類的認識活動中，常通過特殊去探索一般，從一般去研究特殊，特殊與一般在科學研究中有著重要的地位和作用，是數學中經常使用的兩種重要方法.
　　1. 從一般退到特殊
　　有的數學問題所要求的結論在一般情況下不容易推出，但在特殊情況下反倒易處理，我們應注意到有些問題的普遍性寓于特殊性之中，換個角度考慮，把待解決的問題化歸為某個特殊問題，再把解決特殊情況的方法或結論應用到或推廣到一般問題上去.
　　例4已知f（θ）=sin2θ+sin（θ+α）+sin（θ+β），其中α，β是滿足0≤α≤β≤π的常數，試問 α，β為何值時，f（θ）與θ無關？
　　分析：根據題設條件知，對于所有不同的θ，f（θ）恒為定值.因此，用θ的特殊值代入已知函數，考慮θ的幾個特殊值θ=0，－α，－β，，使f（θ）的表達式變得較為簡單，由f（0）=f（－α）=f（－β）=f，可求得α，β的值.
　　由于特殊圖形比較簡單，并且它的解決往往孕育一般圖形的解決，特別是在某一定范圍有唯一確定的答案的幾何計算題，直接利用特殊對象（如特圖、特值等）去探索、研究一般數學問題也是一種重要的解法.
　　例5路燈距離地面8 m，一個身高1．6 m的人沿穿過路燈的直路以84 m/min的速度行走，問人影的變化率是多少？
　　
　　圖1
　　分析：如圖1，采用特殊值位置法，根據答案是一具體數值，可取從路燈正下方行走1分鐘，設人影長度為x m，故由三角形相似知=，從而解得x值.
　　2. 從特殊退到一般
　　由于特殊情況往往涉及過多無關宗旨的枝節，掩蓋了問題的關鍵，而“一般”概括了“特殊”，一般情況更能明確地表達問題的本質，易于解決. 因此，置待解決的問題于更為普遍的情況之中，通過對一般情形的研究去處理特殊的情形，這樣的思考方法同樣也是可行和必要的.
　　例6證明不等式loga（a+b）>loga+c（a+b+c）（a>1，b，c>0）．
　　分析：我們發現不等式的左右兩邊的結構完全相同，差別僅在于右邊對數的底數和真數比左邊的多一個c，因此，考慮這樣的一個函數 f（x）=logx（x+b），x∈（1，+∞），這樣待證不等式就為f（a）>f（a+c），由c>0，故a　　總之，數學是高中學生的一門重要課程，解題能力是數學能力的重要表現形式.在高中數學解題訓練中，我們要結合學生認知發展特點，重視解題方法的引領，經常鼓勵學生換個角度去思考、去解決問題. 這樣學生的解題思路就會更加開闊，學生的解題能力也會逐步提高.