淺談三角換元法

　　摘要：本文討論一種重要的換元法，三角換元法. 首先介紹了常用的三角換元方法，然后通過實例展示了一些初等數學中的代數問題、幾何問題以及部分高等數學中的積分問題轉化為三角問題后，可以簡潔、明了地加以解決.
　　關鍵詞：代數；幾何；積分；三角換元法
　　
　　換元的思想在整個數學中都是很重要的，本文主要是對三角換元法作討論. 三角換元法多用于條件不等式的證明或一些函數值的計算，也可用于解決一些幾何中的問題.把某些代數問題或幾何問題轉化為三角問題，這就是代數問題或幾何問題的三角解法，下面舉例說明.
　　當所給條件比較復雜，一個變量不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變量都用同一個參數表示.如果運用恰當，可溝通三角與代數或幾何的聯系，將復雜的代數或幾何問題轉化為三角問題.根據具體問題，實施的三角代換方法有如下幾種：
　　（1）若x2+y2=a2，則可設x=acosθ，y=asinθ；
　　（2）若x2+y2≤1，則可設x=rcosθ，y=rsinθ（其中0≤r≤1）.
　　（3）若+=1，則可設x=acosθ，y=bsinθ.
　　若-=1，則可設x=asecθ，y=btanθ.
　　（4）若x+y+z=xyz，則可設x=tanA，y=tanB，z=tanC.
　　使用三角換元時，要注意換元后的變量的取值范圍要與原變量的取值范圍保持一致.
　　
　　代數問題的三角解法
　　將復雜的代數問題轉化為三角問題，會使問題變得簡單明了.
　　例1已知a2+b2=1，c2+d2=1，求證ac+bd≤1.
　　分析：這是代數不等式問題，可以用代數方法證明.但若注意到題設中等式的特殊性，則會自然地想到三角公式sin2α+cos2α=1，于是可設a=sinα，b=cosα，把代數問題轉化為三角運算.
　　證明：由a2+b2=1，c2+d2=1，可設a=sinα，b=cosα，c=sinβ，d=cosβ.
　　于是ac+bd=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α－β）. 因為cos（α－β）≤1，所以ac+bd≤1.
　　例2若x2+y2=1，求證x2+2xy－y2≤.
　　分析：絕對不等式的證明一般是比較困難的，這個題目的已知條件是x2+y2=1，容易聯想到sin2α+cos2α=1，于是可設x=cosα，y=sinα，把代數問題轉化為三角運算.
　　證明：設x=cosα，y=sinα，則
　　x2+2xy－y2=cos2α+2sinαcosα－sin2α=cos2α+sin2α=?cos2α+sin2α=?sin2α+≤，
　　所以x2+2xy－y2≤.
　　例3已知a2+b2=1，求證 =.
　　證明：設a=sinθ，b=cosθ ，則
　　=== = tan==，
　　于是=.
　　此題用三角代換顯得簡捷、明了.用作差法，化簡后再將已知條件代入也可得證.
　　例4 設x，y∈（0，+∞），不等式+≤a恒成立，求a的最小值.
　　分析：不等式+≤a恒成立，等價于a≥ 恒成立，則a必不小于右邊代數式的最大值，即只要求出的最大值即可. 觀察到（）2+（）2=（）2，因此可用三角換元.
　　解析：因為x，y∈R+，（）2+（）2=（）2，令=cosθ，=sinθ，θ∈0，.
　　由+≤a，得a≥=cosθ+sinθ=?sinθ+.
　　因為<θ+<π，所以　　要使已知不等式恒成立，則需a不小于右邊函數y=sinθ+的最大值，所以a≥，即a的最小值為.
　　注意：凡已知條件有x2+y2=1的一類題目，根據公式sin2α+cos2α=1，可設x=cosα，y=sinα，把代數問題轉化為三角運算. 當然，對于可用三角換元的題型也可以用其他的三角進行換元，如以下例題.
　　例5解方程x+=.
　　解析：令x=secθx∈－，0∪0，，則原方程變為
　　secθ+=，于是secθ+=，
　　從而secθ+=θ∈0，，?搖
　　①
　　或secθ－=θ∈－，0，
　　②
　　由①得tanθ?secθ+secθ=tanθ，
　　+=?，
　　sinθ+cosθ=sinθcosθ，
　　（sinθ+cosθ）2=2（sinθcosθ）2，
　　1+2sinθcosθ=（sinθcosθ）2，
　　352sin22θ－576sin2θ－576=0，
　　49×25sin22θ－576sin2θ－24×24=0，
　　（49sin2θ+24）（25sin2θ－24）=0，
　　因為θ∈0，，所以49sin2θ+24>0，于是25sin2θ－24=0，即sin2θ=.
　　又cos2θ=±=±= ±，代入cos2θ=θ∈0，，得cosθ==，于是cosθ=或cosθ=.
　　由②得49×25sin22θ+576sin2θ－24×24=0θ∈－，0.
　　同理可得cosθ=或cosθ=.
　　因此，x=或x=.
　　經檢驗知x=或x=均為方程x+=的解.
　　例6計算復數（－1+i）20.
　　解析：（－1+i）20=20?－+i20=2×10?cos+isin20=210（cos15π+isin15π）=210（-1+0）= －210.
　　例7對定義域分別是Df，Dg的函數y=f（x），y=g（x），規定：
　　函數h（x）=f（x）?g（x）（x∈Df，x∈Dg），f（x）（x∈Df，x?埸Dg），g（x）（x?埸Df，x∈Dg）.
　　若gx=f（x+α），其中α是常數，且α∈［0，π］，請設計一個定義域為R的函數y=f（x），以及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明. （這是2005年上海市的高考試題（理）第21題（Ⅲ））
　　解法一：令f（x）=sin2x+cos2x，α=，
　　則g（x）=f（x+α）=sin2x++cos2x+＝cos2x－sin2x.
　　于是h（x）=f（x）?f（x+α）＝（sin2x+cos2x）（cos2x－sin2x）=cos4x.
　　解法二：令f（x）=1+sin2x，α=，
　　則g（x）=f（x+α）=1+sin2x+=1－sin2x，
　　于是h（x）=f（x）?f（x+α）＝（1+?sin2x）（1－sin2x）=1－2sin22x=cos4x.
　　
　　幾何問題三角解法
　　例8三角形三邊為連續整數，其最大角為最小角的2倍，求各邊的長.
　　這個題需要用正弦定理和余弦定理建立邊、角的聯系.
　　解析：設三角形三邊的長分別為x－1，x，x+1，最小角為α，則最大角為2α.
　　由正弦定理，得=，由二倍角公式得到=，
　　于是cosα=.①
　　再由余弦定理，得（x－1）2=x2+（x+1）2－2x（x+1）cosα， ②
　　聯合①②，消掉cosα，整理得到x=5.
　　于是所求的三角形三邊的長分別為4，5，6.
　　例9已知圓的直徑AB的長為2r，圓外的直線l與AB的延長線垂直，垂足為T，AT=2a2a<；圓上有相異兩點M，N，它們與直線l的距離MP，NQ滿足條件==1，求證：AM+AN=AB.
　　
　　圖1
　　證明：如圖1，設∠BAM=α，∠BAN=β，則AM=2rcosα，AN=2rcosβ.
　　于是PM=TA+AC=2a+AM?cosα=2a+2rcos2α.
　　已知AM=PM，則
　　2rcosα=2a+2rcos2α，
　　于是a=rcosα（1－cosα）.
　　同理a=rcosβ（1－cosβ）.
　　因此rcosα（1－cosα）=rcosβ（1－cosβ），
　　展開得cosα－cos2α=cosβ－cos2β，
　　移項得cosα－cosβ=cos2α－cos2β，
　　分解因式得cosα－cosβ=（cosα－cosβ）?（cosα+cosβ），
　　于是cosα+cosβ=1（因α≠β，故cosα≠cosβ）.
　　從而AM+AN=2rcosα+2rcosβ=2r?（cosα+cosβ）=2r=AB，即AM+AN=AB.
　　例10曲線x2+4y2-6x-16y+21=0，被平行y 軸的直線截得線段AB，曲線中心為O′，求△O′AB面積的最大值.
　　
　　圖2
　　解析：由方程x2+4y2-6x-16y+21=0得+（y－2）2=1.
　　設A（3+2cosθ，2+sinθ），
　　B（3+2cosθ，2-sinθ），
　　則AB=2sinθ，
　　O′D=2cosθ.
　　因為S△O′AB=?2?2sinθcosθ＝sin2θ≤1，
　　所以△O′AB面積的最大值為1.
　　三角換元法除了在初等數學中運用外，在高等數學中也常有運用，如以下例題.
　　
　　積分中的三角換元法
　　被積函數含有根號的一些積分可以考慮用三角代換，若代換得當，可使問題得到解決.
　　例11求不定積分 （a>0）.
　　解析：為了把被積函數中的根號去掉，可設x=atant－　　于是=sectdt ，利用積分公式得=lnsect+tant+c1，
　　
　　圖3
　　再代回原來的變量，可由tant=作出三角形（如圖3），由圖3可得
　　sect==，
　　所以=ln++c1=lnx+－lna+c1=lnx++c（其中c=c1－lna）.?搖
　　例12計算（x2+sinx）dx.
　　解析：在區間［-2，2］上，函數f1（x）=x2為偶函數，函數f2（x）=sinx?為奇函數，所以
　　（x2+sinx）dx=x2?dx+sinxdx=2x2?dx
　　令x=2sint，則dx=2costdt，=2cost. 當x=0時，t=0；當x=2時，t=. 于是x2dx=216sin2tcos2tdt=8sin22tdt=4（1－cos4t）dt=4t-sin4t=2π.