例談“數形結合”思想在高中數學中的應用
2011-12-29 00:00:00付文華
數學教學通訊·高中版 2011年10期
摘要：“數形結合”是高中數學教學中一種重要而實用的思想及方法，通過對近年來高考試題的分析，我們不難發現其中的很多題目都可以通過數形結合方法加以簡化并解決. 基于數形結合思想的高效性，本文結合高中數學知識的教學實踐，例談這種方法在方程、不等式及函數相關知識的求解中的應用.
關鍵詞：高中數學；數形結合；解題應用
“數形結合”解題方法是經典數學思想方法之一. 華羅庚曾說過：“數形結合無限好，割裂分家萬事休.” 數與形是初等數學研究的主要對象，應用“數形結合”解題往往會起到事半功倍的作用. 本文就“數形結合”思想在高中數學解題中的應用，例談自己的看法.
“數形結合”方法在解方程或不等式及討論方程解的問題中的應用
對于含字母的方程f（x）=g（x）或不等式f（x）≤g（x）（或f（x）≥g（x））的問題，運用數形結合方法可以把問題看做兩個函數交點的橫坐標問題，特別是求方程近似解或解的個數或范圍時非常有效．
例1判別關于x的方程ax=－x2+2x+a（a>0且a≠1）的實根個數．
圖1
分析：如圖1所示，構造函數y1=－x2+2x，y2=ax－a，轉化為借助兩個函數交點的橫坐標問題求解． 當a>1時，y2=ax－a是增函數，過x軸上點（1，0），y軸上點（0，1-a）. 又1－a<0，所以這兩個函數圖象必有兩個交點；當0
圖2
解析：由不等式ax2+bx+c>0的解集為（2，3）可知a<0，于是設f（x）=ax2+bx+c，則其圖象開口向下，與x軸的交點為（2，0），（3，0），如圖2，而ax2－bx+c=f（－x），再畫出f（－x）的圖象，便可以直觀得到－3
“數形結合”方法在解決函數問題中的應用
運用數形結合方法解決函數問題，主要是通過分析代數式的含義來揭示其幾何意義，探尋解題的切入點，從而使問題獲得解決．
例3已知x∈R，確定f（x）=－的取值范圍．
分析仔細觀察上述代數式的結構，容易聯想到兩點的距離之差，如圖3，事實上，
f（x）=－，
圖3
這表示x軸上點P（x，0）到兩點A－，和B，的距離之差，由于線段AB平行于y軸，不論P（x，0）在x軸什么位置，始終可構成△PAB，由“三角形任意兩邊之差小于第三邊”，得PA－PB 例4若函數f（x）=x2-4x+5－m與x軸有四個不同的交點，則實數m的取值范圍為多少？
圖4
解析：設函數y1=x2－4x+5，函數y2=m，則方程x2－4x+5=m的實數解，就是函數y1與y2圖象交點的橫坐標，當方程x2－4x+5=m有4 個不同的實數解時，兩個函數的圖象應有4 個不同的交點.
在同一直角坐標系下分別畫出兩個函數的圖象，如圖4所示，則得實數m的取值范圍是1
“數形結合”方法在不等式問題中的應用
很多不等式與幾何圖形特別是三角形有著直接或間接的聯系，如果想到這一點往往能收到事半功倍之效.
例5正數a，b，c，A，B，C滿足a+A=b+B=c+C=k，求證aB+bC+cA
由于三個的和相等，即為k，則易聯想到等邊三角形的三邊相等，而不等式可變形為aBsinα+bCsinα+cAsinα
“數形結合”方法在代數式中的幾何意義中應用
例6設m，n，p為正數，且m2+n2－p2=0，求的最小值.
分析此題如果直接用代數方法求解，難以入手，但是仔細觀察“m，n，p為正數，且m2+n2－p2=0”這個條件，很容易聯想到勾股定理，構成一個有關直角三角形的圖形可能有助于解題，從而使解題思路變得寬闊.
圖6
證明：以m，n為直角邊，p為斜邊的直角三角形，構造加菲爾德圖形（如圖6）.
在直角梯形ABCD中，AD=p.
因為BC≤AD，所以m+n≤p，
所以≥=，
所以的最小值是.
評注：當幾何圖形構造出來后，答案似乎變得自然而然了. 本例聯系了加菲爾德圖形，巧妙地將題中等式表示成直角三角形邊的關系，并把這樣的直角三角形鑲嵌在加菲爾德圖形中.
總之，數形結合思想實現了抽象思維與形象思維之間的轉換，是中學解題常用的思想方法之一. 運用數形結合思想，不僅能夠直觀發現解題捷徑， 而且能避免大量的計算和復雜的推理，大大簡化解題過程. 因此，在平常解題過程中要多給學生滲透這種思想方法，多加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度，從而開拓學生的思維和視野.
