一道幾何題通解的再探究

　　摘要：本文是對求解一類三角形的一邊長的問題的再討論，主要是通過余弦定理，建立一個根式方程，化簡后得到關于未知邊長的二次方程并求解之，從而給出一類中考題的新穎的代數解法.同時本文還得到了邊長表達式中蘊涵的幾何意義.
　　關鍵詞：余弦定理；代數解法；幾何意義
　　
　　鄒守文基于三道中考題，給出了如下問題的通解. 這個問題是：
　　如圖1，在△ABC中， 已知∠BAC=α，AD⊥BC于D，BD=a，DC=b，求AD的長.
　　結論是：AD=+，其中當α=時，視=cotα=0.
　　基于余弦定理，本文給出一種代數解法，以饗讀者.
　　
　　圖1
　　解析設AD=x，在△ACD中，由勾股定理得AC==；
　　在△ABD中，由勾股定理得AB==；
　　在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2－2AB?ACcos∠BAC，即（a+b）2=（a2+x2）+（x2+b2）－2cosα，
　　化簡得x2－ab=?cosα，（1）
　　兩邊同時平方并化簡得
　?。▁4+a2b2）（1－cos2α）=［（a2+b2）cos2α+2ab］x2，
　　即x4+a2b2=x2，
　　配方得（x2－ab）2=x2，
　　故x2－（a+b）xcotα－ab=0（舍去負根），
　　 （2）
　　注：若α=，由直角三角形的射影定理知x2－ab=0，（a+b）xcotα=0；若α<，A在以BC為直徑的圓外，不妨設AD與圓交于A′，顯然AD>A′D，易得x2－ab>A′D2－ab=0，此時（a+b）xcotα>0；若<α<π，類似可得x2－ab<0，此時（a+b）xcotα<0. 綜上，（2）中舍去負根.
　　對（2），解一元二次方程得x=±，（3）
　　因為x=AD>0，所以（3）中舍去負號，
　　得x=+?，
　　即AD=+.?搖（4）
　　證畢.
　　對該問題繼續探究可得如下證法.
　　如圖1所示，設△ABC的外接圓心為點O，作OE⊥BC于E，OF⊥AD于F.
　　在Rt△AOF中，AF==，其中R為外接圓半徑，當AD過O點時，此式仍然成立；
　　在Rt△OBE中，∠BOE=∠BOC=∠BAC=α，故FD=OE=Rcosα，此式適用范圍是α∈0，.
　　在△ABC中，由正弦定理得R=.
　　故當α∈0，時，AD=AF+FD=+，其中當α=時，視=cotα=0；
　　當α∈，π時，在Rt△OBE中，∠BOE=∠BOC=π－∠BAC=π－α，故FD=OE=Rcos（π－α）=－Rcosα，此時AD=AF－FD=+.
　　于是，對于α∈（0，π），恒有AD=+， （5）
　　其中當α=時，視=cotα=0.
　　易證（4）等價于（5）.
　　于是得出（4）的幾何意義，根式部分即為已知角的頂點到其對邊的距離，剩余部分的絕對值等于外接圓圓心到已知角的對邊的距離.