如何在解題后引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律

　　摘要：解題后反思解題規(guī)律，有利于總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)、積累解題方法，從而較快地摸索解題線(xiàn)索，提高解題能力. 本文結(jié)合一個(gè)教學(xué)案例，提出了解題后引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律的五個(gè)教學(xué)步驟.
　　關(guān)鍵詞：解題后反思；數(shù)學(xué)題型；解題規(guī)律；思維規(guī)律
　　
　　著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后的回顧與反思.” 可見(jiàn)波利亞非常重視解題后反思的過(guò)程. 數(shù)學(xué)解題后的反思包括反思錯(cuò)解及其原因、反思思維過(guò)程、反思解題規(guī)律、反思一題多解等等.本文就解題后反思解題規(guī)律這一方面進(jìn)行研究.
　　許多數(shù)學(xué)題，具有相同的結(jié)構(gòu)形式，它們的解答形式雖然不相同，但解題思路卻有一定的規(guī)律. 所以解題后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行歸類(lèi)，對(duì)這類(lèi)題型的解題規(guī)律進(jìn)行分析歸納，可使學(xué)生從題海中解脫出來(lái)，提高分析歸納解題規(guī)律的能力，也有利于總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)、積累解題方法，從而較快地摸索解題的線(xiàn)索，提高解題能力. 那么解題后如何引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律呢？可分為下面五個(gè)步驟進(jìn)行.
　　
　　引導(dǎo)學(xué)生反思題目涉及的主要知識(shí)點(diǎn)，總結(jié)題型
　　數(shù)學(xué)題型往往是和知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起的，所以要總結(jié)題型，應(yīng)先挖掘出題目所涉及的知識(shí)點(diǎn). 一道題通常包含大量的信息，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去粗取精，理清題干，提煉出關(guān)鍵的解題信息（比如找出已知條件、主要數(shù)學(xué)概念、要求解的目標(biāo)或求證的結(jié)論）. 這些信息經(jīng)過(guò)整理，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái)后就是題目涉及的主要知識(shí)點(diǎn).最后在這些知識(shí)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合題干和解題目標(biāo)，就容易總結(jié)出該類(lèi)題型.
　　例1如圖1所示，在棱長(zhǎng)為a正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，求AE，BF所成角的大小.
　　
　　圖1
　　解析連結(jié)C1E，C1A，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，則有EC1∥BF，
　　所以∠AEC1是異面直線(xiàn)AE，BF所成的角.
　　因?yàn)锳E=EC1=a，AC1=a，所以cos∠AEC1==1-=-，從而AE，BF所成的角為arccos.
　　分析解答完該題后，教師通過(guò)一系列的設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生一步步反思知識(shí)點(diǎn)和總結(jié)題型（下同）.
　　教師：解答完這道題，現(xiàn)在讓我們來(lái)回顧一下本題主要涉及哪些數(shù)學(xué)概念？
　　學(xué)生：正方體，中點(diǎn)，兩直線(xiàn)所成的角度.
　　教師：同學(xué)們回答得很全面，其中兩直線(xiàn)是異面直線(xiàn)，因此異面直線(xiàn)所成的角是本題的核心概念.本題的已知條件是什么？解題目標(biāo)是什么？
　　學(xué)生：已知條件包含正方體棱長(zhǎng)，兩個(gè)中點(diǎn)，AE，BF分別在兩個(gè)面上；解題目標(biāo)是求AE，BF所成的角.
　　教師：所以從已知條件和解題目標(biāo)可以看出，本題涉及的主要知識(shí)點(diǎn)有正方體的性質(zhì)、余弦定理、異面直線(xiàn)所成的角. 本題題型為求兩條異面直線(xiàn)所成的角.
　　應(yīng)用“文章”分段法，引導(dǎo)學(xué)生反思該題型的解題步驟
　　日常教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，熟悉解題步驟的學(xué)生，答題的時(shí)候明顯更加自信，而且解題所用時(shí)間較短，所以反思某個(gè)題型的具體解題步驟是有必要的. 總結(jié)題型后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧一下解題過(guò)程，把它看成是一篇“文章”，然后對(duì)該“文章”劃分段落. 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出各段落的大意，這就形成該題關(guān)鍵的幾個(gè)解題步驟.結(jié)合例1，教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生反思解題步驟.
　　教師：本“文章”可分為幾段？各段分別是從哪里到哪里？
　　學(xué)生：分成三段，第一段從開(kāi)頭到“連結(jié)C1E，C1A”；第二段到“∠AEC1是異面直線(xiàn)AE，BF所成的角”； 第三段到結(jié)束.
　　教師：各段的段落大意如何？
　　學(xué)生：第一段說(shuō)的是過(guò)一點(diǎn)作平行線(xiàn)，作出一個(gè)角；第二段說(shuō)的是證明上面作出的角是所求異面直線(xiàn)所成的角；第三段說(shuō)的是把角置于三角形中，通過(guò)已知條件和解三角形的知識(shí)求出角.
　　教師：很好，以上三段的段落大意就是本題型的三個(gè)解題步驟.
　　
　　引導(dǎo)學(xué)生反思該題型的解題思維規(guī)律
　　解題思維規(guī)律是解題規(guī)律中最重要的組成部分，掌握了它就能迅速摸索到解題線(xiàn)索，從而擬定具體解題步驟. 我們可以把解題思維規(guī)律看成是一篇文章的中心思想，它是各段段落大意和寫(xiě)作意圖的高度概括. 所以結(jié)合各解題步驟及其意圖，經(jīng)過(guò)概括、簡(jiǎn)化，就能形成解題思維規(guī)律. 結(jié)合例1，教師可以這樣引導(dǎo)學(xué)生.
　　教師：我們知道本題分三個(gè)步驟，第一個(gè)步驟的意圖是什么？
　　學(xué)生：選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，通過(guò)平移直線(xiàn)后，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.
　　教師：接下來(lái)的兩個(gè)步驟的意圖各是什么？
　　學(xué)生：第二個(gè)步驟意圖是要確定所求的角；第三個(gè)步驟意圖是在平面內(nèi)，聯(lián)系已知條件，算出答案.
　　教師：我們把這三個(gè)目的整理一下便可以得到如下解題規(guī)律：欲求兩條異面直線(xiàn)所成的角，關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，通過(guò)平移一條直線(xiàn)（或兩條直線(xiàn)）后，轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，最后在平面內(nèi)把該角求出.
　　
　　引導(dǎo)學(xué)生反思該題型中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用
　　數(shù)學(xué)思想方法是關(guān)于怎樣進(jìn)行認(rèn)知活動(dòng)的知識(shí)，是數(shù)學(xué)解題規(guī)律在更高層次上的抽象和概括. 解題之后對(duì)涉及的數(shù)學(xué)思想方法及時(shí)提煉，可以構(gòu)建學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，深化學(xué)生的理性認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的思維水平. 這個(gè)步驟一定要及時(shí)，要抓住最佳時(shí)機(jī)，一旦錯(cuò)過(guò)，教學(xué)效果會(huì)大打折扣. 在教學(xué)中，教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該題型的思維規(guī)律進(jìn)行深層次的概括和提煉，然后體會(huì)該數(shù)學(xué)思想方法在本題中的作用. 結(jié)合例1，教師可以這樣引導(dǎo).
　　教師：請(qǐng)回顧一下本題的思維規(guī)律，你認(rèn)為最核心的是哪個(gè)詞？
　　學(xué)生：平移.
　　教師：平移的目的是將三維空間中抽象的角轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決. 所以最核心的詞是哪個(gè)？
　　學(xué)生：轉(zhuǎn)化.
　　教師：對(duì)了，就是轉(zhuǎn)化法. 所謂轉(zhuǎn)化法，就是通過(guò)把問(wèn)題適當(dāng)?shù)刈兏M(jìn)行難易或繁簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到最終解決問(wèn)題的目的，它是一種常用的好方法. 在本題中，它的作用如何體現(xiàn)呢？
　　學(xué)生：使得求角變得簡(jiǎn)單.
　　教師：分析得不夠全面. 在三維空間中，要直接用公式計(jì)算兩異面直線(xiàn)所成的角，以我們現(xiàn)在所學(xué)知識(shí)很難解決.在平面上，我們已經(jīng)掌握了一些求角的經(jīng)驗(yàn)，解決起來(lái)相對(duì)容易. 這樣把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，使得本題由難變易.
　　
　　引導(dǎo)學(xué)生反思題目的變式和拓展，以鞏固對(duì)解題規(guī)律的掌握
　　變式和拓展就是針對(duì)題目的條件進(jìn)行變換，或是對(duì)原題的所求內(nèi)容進(jìn)行拓寬與引申，設(shè)計(jì)出新題并進(jìn)行求解. 這樣有助于學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的相互關(guān)聯(lián)，能夠讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題規(guī)律的運(yùn)用達(dá)到“學(xué)一知二、舉一反三”的好效果. 結(jié)合例1，教師可以這樣引導(dǎo)反思題目的變式和拓展.
　　變式1：在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，求AE和BC所成的角.
　　變式2：在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，求BF和A1D1所成的角.
　　以上兩個(gè)變式是對(duì)解題目標(biāo)進(jìn)行表面變換，實(shí)質(zhì)未變.
　　拓展：在正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，求AE和CF所成角的大小.
　　拓展題目的解題背景和條件變換了，但求解的實(shí)質(zhì)還是求兩條異面直線(xiàn)所成的角.
　　常言道：“好記性不如爛筆頭.” 教師在引導(dǎo)學(xué)生反思解題規(guī)律的時(shí)候，通常只是口頭闡述，導(dǎo)致學(xué)生來(lái)不及作筆記.所以教師要有適當(dāng)?shù)陌鍟?shū)，要留適當(dāng)?shù)臅r(shí)間給學(xué)生做好簡(jiǎn)單筆記，這樣有利于學(xué)生形成反思習(xí)慣，提高復(fù)習(xí)效率. 總之，把以上5個(gè)步驟切實(shí)運(yùn)用于課堂教學(xué)中，可以大大提高學(xué)生解題后反思的興趣，培養(yǎng)科學(xué)的反思習(xí)慣，提高解決問(wèn)題的能力.