創(chuàng)建高效課堂背景下《橢圓的幾何性質(zhì)(一)》課例設(shè)計(jì)

　　摘要：本文對(duì)人教版選修2—1第二章第二節(jié)的內(nèi)容《橢圓的幾何性質(zhì)（一）》進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)，強(qiáng)調(diào)以生為本的理念，在教師的適當(dāng)引導(dǎo)和學(xué)生的合作探究下，實(shí)現(xiàn)高效課堂的創(chuàng)建.
　　關(guān)鍵詞：橢圓；方程；幾何性質(zhì)；離心率
　　
　　課例設(shè)計(jì)背景
　　高效課堂，是高效型課堂或高效性課堂的簡(jiǎn)稱，顧名思義，是指教育教學(xué)效率或效果能夠達(dá)到相當(dāng)高的目標(biāo)的課堂，具體而言是指在有效課堂的基礎(chǔ)上、完成教學(xué)任務(wù)和達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的效率較高、效果較好并且取得教育教學(xué)的較高影響力和社會(huì)效益的課堂. 高效課堂是有效課堂的最高境界，高效課堂基于高效教學(xué). 本堂課是為探索高效課堂教學(xué)，構(gòu)建和諧高效的課堂教學(xué)模式的校級(jí)“高效課堂”教學(xué)研討課.采取“15+15+15”模式，即教師講授時(shí)間不超過(guò)15分鐘，學(xué)生練習(xí)時(shí)間不少于15分鐘，學(xué)生思考、發(fā)言時(shí)間不少于15分鐘.“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，教學(xué)活動(dòng)采用“問(wèn)題探究式”的教學(xué)方式進(jìn)行，通過(guò)把知識(shí)轉(zhuǎn)化成問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分組討論，合作探究，教學(xué)中穿學(xué)練結(jié)合，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合；學(xué)生則采用自主探究、合作交流的“研討式”學(xué)習(xí)方式，參與問(wèn)題的分組討論等方式，參與問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、解決過(guò)程，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程，從而達(dá)到掌握知識(shí)、提高能力的目的.
　　《橢圓的幾何性質(zhì)（一）》是人教版選修2—1第二章第二節(jié)的內(nèi)容，它是在學(xué)完橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，通過(guò)研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)探究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，是本單元的重點(diǎn)內(nèi)容之一. 利用曲線方程研究曲線的性質(zhì)，是解析幾何的主要任務(wù). 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，既要讓學(xué)生了解橢圓的幾何性質(zhì)，又要讓學(xué)生初步體會(huì)利用曲線方程來(lái)研究其性質(zhì)的過(guò)程，同時(shí)也為下一步學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線的性質(zhì)做好鋪墊. 基于上述考慮，筆者制定了以下內(nèi)容.
　　教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用.
　　教學(xué)難點(diǎn)：如何通過(guò)橢圓方程研究其性質(zhì).
　　教學(xué)目標(biāo)：
　　1. 知識(shí)目標(biāo)：掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).
　　2. 能力目標(biāo)：能夠運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)處理一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，初步感受運(yùn)用曲線方程研究曲線性質(zhì)的方法，進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究、類比猜想的能力.
　　3. 情感目標(biāo)：通過(guò)實(shí)例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.
　　
　　教學(xué)過(guò)程
　　1. 知識(shí)回顧
　　（1）橢圓的定義
　　平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)（大于F1F2）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.
　　定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：PF1+PF2=2a（2a>F1F2=2c）.
　　（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
　　當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為：+=1（a>b>0）；?搖
　　當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為：+=1（a>b>0）.?搖
　　（3）橢圓方程中a，b，c的關(guān)系：a2=b2+c2.
　　教學(xué)活動(dòng)安排和設(shè)計(jì)意圖：此節(jié)安排學(xué)生口答，復(fù)習(xí)鞏固知識(shí)點(diǎn).
　　2. 新知構(gòu)建
　　探究方案制訂：以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓為例+=1（a>b>0）.
　　（1）橢圓的頂點(diǎn)
　　教學(xué)活動(dòng)安排和設(shè)計(jì)意圖：先觀察圖象，再?gòu)姆匠坛霭l(fā)，研究橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn). 引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用方程研究曲線的性質(zhì)并提高學(xué)生的自學(xué)能力.
　　
　　圖1
　　頂點(diǎn)坐標(biāo)：（-a，0），（a，0），（0，-b），（0，b）.
　　長(zhǎng)軸、短軸：線段A1A2——長(zhǎng)軸；線段B1B2——短軸；a——長(zhǎng)半軸長(zhǎng)；b——短半軸長(zhǎng).
　　（2）橢圓的范圍
　　教師：設(shè)P（x，y）是橢圓+=1（a>b>0）上的任一點(diǎn)，則x，y能否取任意值？
　　學(xué)生活動(dòng)，從形和數(shù)兩個(gè)角度得出結(jié)論.
　　形：橢圓落在x=±a，?搖y=±b圍成的矩形中.
　　數(shù)：變量取值范圍是－a≤x≤a，－b≤y≤b.
　　（3）橢圓的對(duì)稱性
　　教師提問(wèn)：橢圓+=1（a>b>0）有何對(duì)稱性？如何根據(jù)曲線方程判斷出曲線的對(duì)稱性？
　　學(xué)生討論：
　　從圖形上看，橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱.
　　從方程上看：
　　（1）把x換成-x，方程不變，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
　　（2）把y換成-y，方程不變，圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；
　　（3）把x換成-x，同時(shí)把y換成-y，方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.
　　教學(xué)活動(dòng)安排和設(shè)計(jì)意圖：體會(huì)運(yùn)用方程研究曲線性質(zhì)的方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想以及知識(shí)的遷移能力.
　　（4）橢圓的離心率
　　圓的形狀是相似的，而橢圓的形狀是否相似？如何刻畫(huà)它的“扁”的程度呢？
　　操作探究：教師通過(guò)多媒體展示橢圓保持a不變、改變c的扁平變化動(dòng)畫(huà)過(guò)程，探究橢圓的c與a的變化是如何反映橢圓的圓、扁程度的.?搖
　　離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比，即e=.
　　學(xué)生討論得出如下結(jié)論：
　　（1）離心率的取值范圍：0　　（2）離心率對(duì)橢圓形狀的影響：
　　e越接近1，橢圓就越扁；
　　e越接近0，橢圓就越圓.
　　（3）e與a，b的關(guān)系: e===.
　　練習(xí)：判斷下列哪一個(gè)橢圓更接近圓？
　　（1）+=1；
　　（2）+=1.
　　教師總結(jié)：計(jì)算e可先算e2；離心率對(duì)橢圓形狀的影響的形象記憶法：?搖
　　1（長(zhǎng)又扁）← 離心率 → 0（圓又圓）.
　　教學(xué)活動(dòng)安排和設(shè)計(jì)意圖：學(xué)練結(jié)合，及時(shí)鞏固.
　　
　　應(yīng)用練習(xí)
　　1. 短平快
　　性質(zhì)篇：
　　1． 口答練習(xí):已知橢圓方程為+=1，它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是________；短軸長(zhǎng)是________；焦距是________；離心率等于________；焦點(diǎn)坐標(biāo)是________；頂點(diǎn)坐標(biāo)是________.
　　學(xué)生板演變式：已知橢圓x2+（m+3）?y2=m的離心率e=，求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo).
　　教師總結(jié)：先化標(biāo)準(zhǔn)形，差錯(cuò)全無(wú)影！
　　2. 橢圓的長(zhǎng)短軸之和為18，焦距為6，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________.
　　3. 已知橢圓長(zhǎng)軸是短軸的三倍，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，0），橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________.
　　離心率篇：
　　4. 若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)及一個(gè)短軸端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，則其離心率為?搖_________.
　　5. 橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則其離心率為?搖_________.
　　6. 若橢圓+=1的離心率e=，則k=?搖_________.
　　教學(xué)活動(dòng)安排和設(shè)計(jì)意圖：2，3學(xué)生自主完成，注意避免漏解；4，5學(xué)生板演，注意數(shù)形兩種方法，特別是形的方法；6強(qiáng)調(diào)e2的優(yōu)點(diǎn).
　　2. 準(zhǔn)實(shí)活應(yīng)用篇
　　（7）在橢圓+=1上求一點(diǎn)P， 使它與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直.
　　變式1：橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn). 當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)取值范圍.
　　變式2：F1，?搖F2是橢圓+=1（a>b>0）的焦點(diǎn)，若在橢圓上存在點(diǎn)M滿足MF1⊥MF2，則橢圓離心率的范圍是_________.
　　教學(xué)活動(dòng)安排和設(shè)計(jì)意圖：本題難度稍大，學(xué)生分小組合作探究，師生共同解決，使知識(shí)的運(yùn)用得到升華.
　　
　　歸納總結(jié)
　　知識(shí)點(diǎn)：（橢圓的幾何性質(zhì)）取值范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性、離心率.
　　數(shù)學(xué)方法：圖象法、待定系數(shù)法.
　　數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論.
　　教學(xué)活動(dòng)安排和設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合具體題目總結(jié)題型及解法，達(dá)到梳理思路，對(duì)所學(xué)知識(shí)形成清晰的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的效果.
　　
　　教學(xué)評(píng)價(jià)
　　本節(jié)課積極引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、動(dòng)腦思考，讓學(xué)生充分的交流、探究，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，把思維的空間留給學(xué)生，把探索的機(jī)會(huì)留給學(xué)生，把體會(huì)成功后的快樂(lè)送給學(xué)生，把課堂的時(shí)間還給學(xué)生.教師的作用是給學(xué)生“指點(diǎn)迷津”、引導(dǎo)學(xué)生“重點(diǎn)突破”、刺激學(xué)生“深化理解”、幫助學(xué)生“能力提升”；把知識(shí)的形成過(guò)程轉(zhuǎn)化為自學(xué)、探索、思考、發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程，以學(xué)生為主體，以合作探究、學(xué)練結(jié)合為手段，以提高能力為目的，讓學(xué)生在操作中探索，在探索中領(lǐng)悟，在領(lǐng)悟中理解，體會(huì)數(shù)學(xué)之美、探究之趣.