例談數學思想方法在“解決問題”中的滲透

　　小學數學課程標準教材將“解決問題”貫穿在小學數學課程的全部內容之中，顯然，“解決問題”是小學數學學習的基本形式。作為一種基本的數學學習，學生在“解決問題”的過程中，不僅需要獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及必要的應用技能，更需要獲得作為數學靈魂的思想方法。因此，在“解決問題”的教學過程中，教師要精心挖掘、滲透知識和問題背后所蘊含的數學思想方法，引導學生在掌握知識、解決問題的同時，體驗和領悟作為精髓的數學思想方法，發展數學思維，從而提高學生的數學素養，為今后的持續發展奠定堅實的基礎。
　　一、 滲透化歸的思想方法
　　數學家雅諾夫斯卡婭說：“解題就是意味著把所要解的問題轉化為已解過的問題。”數學學習中，遇到一些數量關系復雜、隱蔽而難以解決的數學問題時，可以引導學生運用化歸的思想方法，通過某種轉化過程，把未知的復雜問題簡單化、抽象問題具體化、一般問題特殊化，從而求得原來數學問題的解決。
　　例：“小紅看一本故事書，看了一些后，已看的與剩下的比是1∶4，又看了25頁，現在已看的與剩下的比是3∶7。這本故事書共多少頁？”
　　分析：直接解答本題有一定困難，可以將題中條件進行轉化，成為常見的分數問題。即“已看的與剩下的比是1∶4”轉化為“已看的頁數是總頁數的＝”，“現在已看的與剩下的比是3∶7”轉化為“現在已看的頁數是總頁數的＝”。已看的頁數占總頁數的分率發生變化，是因為“又看了25頁”，因此，25頁相當于這本故事書總頁數的（－）＝。所以這本故事書共有25÷＝250（頁）。
　　二、 滲透分類的思想方法
　　有些數學問題，由于條件與問題之間的聯系不是單一的，情況比較復雜，用一般的思維方法難以解決。不妨根據問題的實際情況和需要恰當分類，并逐類分析思考求解，從而順利解決問題。需要注意的是，應用分類思想方法解決問題時要抓住問題的本質特征合理分類，做到不重復、不遺漏。
　　例：從1、2、3……20中任選兩個不同的數可以組成兩個加法算式。在這些算式中，有的和是奇數，有的和是偶數。那么，在所有的這些算式中，和為奇數的多還是和為偶數的多？多多少個？
　　分析：顯然，把這些算式一一寫出來，求和以后再比較和為奇數、偶數誰多，比較繁瑣。可以根據第1個加數分類考慮：在第1類19個算式中缺少了“1＋1=2”，這樣，和是奇數的算式比和是偶數的算式多1個。同樣，在第2類、第3類……第20類中，依次少了“2＋2”、“3＋3”……“20＋20”這些和為偶數的算式，共少了20個和為偶數的算式。因此，和為奇數的算式比和為偶數的算式多20個。
　　三、 滲透類比的思想方法
　　G·波里亞說過：“類比似乎在一切數學發現中有作用，而且在某些發現中有它最大的作用。”類比思想方法就是根據兩個或兩類對象的相同或相似方面來推斷它們在其他方面也相同或相似，是一種從特殊到特殊的思想方法。解決某些看似復雜困難或生疏的數學問題時，可以從結構特征、數量關系、情節內容等方面把需要解決的問題與能夠解決的問題進行類比，從而豐富認識，啟迪思維，明確探究方向，迅速找到解決問題的途徑和方法。
　　例：甲、乙兩校共有學生2200人，甲校人數的與乙校人數的共930人。甲、乙兩校各有學生多少人？
　　分析：題中數量關系比較復雜，仔細觀察分析，其結構與“雞兔同籠”問題非常相似：雞和兔——甲校學生和乙校學生，頭的總數——學生總數2200人，腿的總數——甲校人數的與乙校人數的共930人，雞、兔各幾條腿——甲的和乙的。這樣一類比，就可以按照“雞兔同籠”問題的解題思路來解決所求的問題：
　　甲校學生：（2200×－930）÷（－）=60÷=1200（人）；
　　乙校學生：（930－2200×）÷（－）=50÷=1000（人）。
　　四、 滲透數形結合的思想方法
　　數形結合思想方法，就是把問題的數量關系和空間形式相互滲透、相互轉化，其實質是將抽象的數量關系與直觀的圖形結合起來，使得抽象的數量關系直觀化、生動化、簡單化，有助于學生準確把握數學問題的本質。正如數學家華羅庚的精辟論述：“數以形而直觀，形以數而入微”。解決一些數量關系復雜、一般思考方法難以解決的問題時，可以把問題中的數量關系用圖形直觀形象地表示出來，變抽象思維為形象思維，然后“按圖索驥”，迅速發現解決問題的方法和途徑。這樣，不僅使得數學問題得到順利解決，還培養了學生的數形轉換能力和多角度思考問題的習慣。
　　例：六年級同學表演團體操，如果每排少站3人，正好排10行；如果每排多站5人，正好站6排。六年級有多少名同學參加團體操表演？
　　分析：題中數量關系比較抽象復雜，可以通過數與形的轉化將復雜而抽象的數量關系直觀形象地呈現出來，從而迅速解題。如圖，用長方形ABCD的長表示團體操隊列的排數，寬表示每排的人數，用長方形的面積表示參加團體操表演的人數。“如果每排少站3人，正好排10行”即長方形ABCD的寬減少3，長增加到10；“如果每排多站5人，正好排6行”即長方形的寬增加5，長減少到6。由于參加團體操表演的人數不變，也就是長方形的面積不變，即長方形ABCD的面積=長方形ALJG=長方形AEFH的面積，所以圖中S1（長方形ELJK）=S2（長方形GKFH），而長方形ALJG=6×（3＋5）÷（10－6）×10=120，即六年級有120名同學參加團體操表演。
　　五、 滲透建模的思想方法
　　數學模型一般地說，是針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化的數學符號和語言，概括地或近似地表述出來的數學結構（張奠宙語）。“解決問題”教學過程中，教師要善于抓住一類問題的本質特征，引導學生透過不斷變換的問題情境，經歷觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括等思維過程，歸納數量之間的結構關系，逐步形成一類數學問題的數學模型及其解決策略體系，從而提升學生的思維水平，提高學生的應用意識和能力。
　　例：全班42人去公園劃船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有幾只？
　　在學生解決問題后，出示如下一組形式各異、本質特征相同的數學問題，讓學生分析解決：
　　①六年級同學分組開展課外實踐活動。環保宣傳類每5人一組，社會調查類3人一組，共有37名同學報名參加，正好分成9個組。參加環保宣傳類和社會調查類的學生各有多少人？
　　②16張桌子共44名同學，正在進行乒乓球單打、雙打比賽。單打和雙打的各有幾張桌子？
　　③甲、乙兩個車間共126人，如果從甲車間每8人中選一名代表，從乙車間每6人中選一名代表，正好選出17名代表。甲、乙兩個車間各有多少人？
　　分析：上述問題情境不同，但本質的數量關系是相同的，解決問題的策略和思想是一致的，學生通過分析、解決這些問題，思維逐步深入，領悟到這類問題的本質和規律，構建的數學模型得以豐富和拓展，初步形成模型思想。