怎樣教更有效

　　一、出人意料的測驗(yàn)結(jié)果
　　前不久，我執(zhí)教的兩個(gè)班進(jìn)行一次小測驗(yàn)，結(jié)果很令人感到意外。6班高分學(xué)生的人數(shù)比5班少很多，而6班入學(xué)時(shí)的優(yōu)秀生比5班要多很多，并且在此之前每次大小考試也是6班領(lǐng)先，究竟是什么因素導(dǎo)致這次“大逆轉(zhuǎn)”的出現(xiàn)？為此，我對兩個(gè)班的試卷進(jìn)行了認(rèn)真的分析比較，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致差異產(chǎn)生的主要原因在于一道幾何題（見下圖），這道題6班的失分人數(shù)明顯比5班多。但令人不解的是：考前兩周左右我在兩個(gè)班都講解過這道題，并且這道題在當(dāng)時(shí)的學(xué)習(xí)階段僅算得上中等難度。這到底是怎么回事呢？為了弄清原因，我決定對此展開調(diào)研。
　　已知在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，E是BC延長線上的一點(diǎn)，MN⊥AM，交∠DCE的平分線CN于N。探究MA與MN的關(guān)系并加以論證。
　　二、學(xué)生訪談探求原因
　　首先，我找到6班一位平時(shí)成績不錯(cuò)卻沒有答出這道題的甲同學(xué)。
　　師：這道題老師講過你有印象嗎？當(dāng)時(shí)沒聽懂嗎？
　　甲：我當(dāng)然記得您前些天講過，我還記得開始看題時(shí)我沒有思路，您講過后我就覺得很明白了，還做了筆記，可是考試的時(shí)候我卻怎么也想不起思路了。一交完卷我就翻了筆記本，一看就明白了，心里直罵自己太笨！
　　師：你考試的時(shí)候是怎么思考這道題的？
　　甲：我只記得自己想構(gòu)造全等，好像您也是這么講的，我想構(gòu)建一個(gè)三角形與ΔABM全等，因?yàn)槭侵苯侨切温?，于是我過點(diǎn)N作NF垂直于BE，可我花了好長時(shí)間也找不到邊相等的條件，只好放棄了。
　　師：那你為什么不換換思路，構(gòu)造一個(gè)三角形全等于ΔMCN呢？
　　甲：真沒想起來，看了筆記才知道您是這么講的。
　　之后，我又找了6班幾個(gè)此題失分的同學(xué)進(jìn)行訪談，他們講述的內(nèi)容大致都跟甲同學(xué)相似。于是，我開始訪談5班的同學(xué)，找了一位平時(shí)成績很一般，但測驗(yàn)中卻順利完成該題目的乙同學(xué)。
　　師：先祝賀你啊，成績很有進(jìn)步，你能跟我說說這個(gè)題怎么做得這么好？
　　乙：老師難道您忘了原題您是講過的嗎？（吃驚）
　　師：我當(dāng)然記得，可是仍然有許多同學(xué)沒做出來，我不知道為什么，所以想問問你怎么做的呀！
　　乙：我對這道題印象太深了。上次您給我們這道題的時(shí)候我想了一中午，想了好多條道都行不通，直到下午您在心理課上帶著我們一起探究，我才明白這道題應(yīng)該怎么處理。
　　師：你記得那個(gè)中午你想了多少條走不通的道嗎？
　　乙：當(dāng)然記得，您上課時(shí)也讓同學(xué)展示了，我想的跟他們一樣。開始我覺得要證MA=MN，就是要利用題目中的已知條件。我觀察了圖形結(jié)合已知條件發(fā)現(xiàn)連結(jié)AN，只要證明ΔANM是等腰三角形即可，但是不容易證明。于是，我想如果能證明AM、MN它們所在的兩個(gè)三角形全等，那該多好啊?？墒墙Y(jié)合已知我發(fā)現(xiàn)圖中它們所在的兩個(gè)三角形，一個(gè)是鈍角三角形，一個(gè)是直角三角形，那是不可能全等的。于是就想到添加輔助線構(gòu)建全等三角形，想通過證明兩個(gè)三角形全等來證明線段相等。本來我想構(gòu)建一個(gè)三角形與ΔABM全等，因?yàn)棣BM是直角三角形，特殊嘛，于是我過點(diǎn)N作NF垂直于BE，在證明過程中比較容易找出兩組角相等，但找一組邊相等非常困難（證明三角形全等至少需要一組邊相等）。老師，你不知道我在上面花了好長時(shí)間，不然的話，我不可能對這個(gè)題印象這么深。聽課后我意識(shí)到可以換個(gè)思路，構(gòu)建一個(gè)三角形全等于ΔMCN。根據(jù)點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，于是找AB的中點(diǎn)F，連結(jié)FM，此輔助線方法非常有效，不僅創(chuàng)設(shè)了AF=MC，而且又得出∠AFM=∠NCM=135°。再根據(jù)同角的余角相等，即∠FAM=∠CMN，就可以利用ASA證明這兩個(gè)三角形全等了。
　　師：謝謝你，講得太好了！希望你今后也能像這樣帶著問題上課，一定會(huì)有意想不到的收獲。
　　三、調(diào)研帶來的反思
　　聽了5班乙同學(xué)的談話，我猛然意識(shí)到在這道題目上兩個(gè)班有差距的原因了。兩個(gè)班同一天講解這道題，在6班出示該題的時(shí)候離下課好像不到10分鐘，我讓同學(xué)獨(dú)立思考了片刻，看到馬上就要下課還沒有同學(xué)舉手，我就帶著同學(xué)分析了一遍，也給出了板書，看到同學(xué)們不住地點(diǎn)頭，認(rèn)真地做記錄，我很放心，覺得學(xué)生應(yīng)該聽明白了，卻沒料到會(huì)收到這種效果。
　　在5班，由于前一天心理課老師打了招呼，他上半節(jié)課之后就有事出去，后半節(jié)要我上，于是數(shù)學(xué)課上我在出示了這道題以后，沒急于帶領(lǐng)學(xué)生分析，而是給他們布置了任務(wù)，中午認(rèn)真思考，下午心理課上展示分析。那節(jié)課我先讓學(xué)生們談他們各種受阻的思路，大多數(shù)同學(xué)感覺過點(diǎn)N作NF垂直于BE，構(gòu)建ΔABM與ΔMFN全等，應(yīng)該可以解決問題。可惜在證明過程中比較容易找出兩組角相等，但找一組邊相等非常困難。究其原因是受平常一些思維定勢的影響，創(chuàng)設(shè)三角形一般是創(chuàng)設(shè)一個(gè)特殊的三角形，而題目中的直角三角形正符合要求，于是毫不猶豫地認(rèn)定創(chuàng)設(shè)直角三角形。記得當(dāng)時(shí)我肯定了能有這樣的思維、作這樣的輔助線本身是件好事，但需要看題目特征具體對待，拼命鉆牛角尖，會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間。于是，嘗試尋求另一條出路，那就是構(gòu)建一個(gè)三角形全等于ΔMCN。那半節(jié)課學(xué)生真是聽得津津有味，想來給他們留下深刻印象的恐怕不僅僅是正確的答案，更有不撞南墻不回頭的思維過程！
　　說實(shí)在話，我平常也會(huì)抱怨學(xué)生為什么會(huì)一道題講過很多次依然還錯(cuò)，總認(rèn)為自己講透徹、學(xué)生聽明白，就算完成了教學(xué)任務(wù)。然而，通過這次檢測及隨后的調(diào)研，我發(fā)現(xiàn)了學(xué)生親身體驗(yàn)的重要性。那種擔(dān)心學(xué)生栽跟頭、耽誤課上時(shí)間的做法表面上看是節(jié)省了教學(xué)時(shí)間，但實(shí)際效果未必好。因此，教師需要學(xué)會(huì)聆聽、學(xué)會(huì)等待，敢于讓學(xué)生的思維誤區(qū)暴露出來，借助學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對問題進(jìn)行深入分析，巧妙提升，實(shí)現(xiàn)問題的解決，這才能夠真正地提高教學(xué)的效率。
　　四、反思之后的改進(jìn)
　　一道題不經(jīng)意間采用了兩種不同的教學(xué)方法，卻產(chǎn)生了截然相反的教學(xué)效果，這讓我陷入了深思：到底怎么教更有效？
　　鑒于學(xué)生親身體驗(yàn)的重要性，我在試卷講評(píng)時(shí)，要求學(xué)生以小組形式討論并出示本題的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖。在此基礎(chǔ)上，我還出示了一道變式題，即將原題中“M是BC的中點(diǎn)”改為“M是BC上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，那么，結(jié)論“MN=MA”還成立嗎？如果成立，請加以證明；如果不成立，請說明理由。在這里，教學(xué)碰到了難點(diǎn)：有些學(xué)生認(rèn)為點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)不再是中點(diǎn)，那么也就不會(huì)出現(xiàn)∠AFM=∠NCM=135°，所以兩個(gè)三角形是不可能全等的。
　　事實(shí)上，把“M是BC的中點(diǎn)”改為“M是BC上的任意一點(diǎn)”，結(jié)論“MN=MA”依然成立。針對學(xué)生的疑惑，教師要鼓勵(lì)他們大膽嘗試，學(xué)會(huì)變通，不僅引導(dǎo)學(xué)生探索出“若證明兩條線段相等而題中沒有三角形全等時(shí)可以構(gòu)造三角形證明三角形全等”這一類問題的求解方法，更重要的是揭示出初中幾何的核心思想：在圖形的運(yùn)動(dòng)變化中尋求不變的性質(zhì)。
　　五、經(jīng)驗(yàn)總結(jié)
　　有的數(shù)學(xué)教師平常不太重視自己思維的展示，不太重視知識(shí)建構(gòu)及知識(shí)呈現(xiàn)的過程。其實(shí)數(shù)學(xué)教師顯現(xiàn)自己的思維過程對于學(xué)生學(xué)習(xí)的幫助很大，這種成熟的數(shù)學(xué)思維解題技法正是學(xué)生思維活動(dòng)的楷模。在例題教學(xué)過程中，教師要善于將思路的形成過程“暴露”出來，使學(xué)生的思維與教師的思維發(fā)生共鳴，變教師傳授的過程為學(xué)生發(fā)現(xiàn)的過程，留給學(xué)生的不再是“魔術(shù)師”的表演，而是創(chuàng)造性的教育與實(shí)踐。不僅是例題教學(xué)，其實(shí)包括備課、上課、答疑、批改作業(yè)、組織考試、批改試卷等在內(nèi)，都應(yīng)該看成是顯露數(shù)學(xué)思維過程的重要環(huán)節(jié)。另一方面，也要鼓勵(lì)學(xué)生在自己的學(xué)習(xí)中，從書本例題、課外練習(xí)以及教師講題中分析他人思維發(fā)展的脈絡(luò)，同時(shí)不斷比照自己的思維過程，尋找自己思維中的錯(cuò)誤，吸取他人思維中的營養(yǎng)。只有這樣，教師的教才能更有實(shí)效性，這種實(shí)效性不僅體現(xiàn)在分?jǐn)?shù)成績上，更體現(xiàn)在學(xué)生思維能力、分析解決問題能力的提高上。因此，“怎樣教更有效”應(yīng)該成為我們每一位數(shù)學(xué)教師時(shí)常思索的重要問題。
　　
　　（作者單位：北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)二中）
　　
　　（責(zé)任編輯：張欣）