Dicke模型的量子經典對應關系*

宋立軍 嚴 冬 蓋永杰 王玉波

1)(長春大學理學院，長春 130022)

2)(長春理工大學理學院，長春 130022)

Dicke模型的量子經典對應關系*

宋立軍嚴 冬1)蓋永杰1)王玉波2)

1)(長春大學理學院，長春 130022)

2)(長春理工大學理學院，長春 130022)

(2010年3月22日收到;2010年5月3日收到修改稿)

非旋波近似條件下Dicke模型表現為量子混沌動力學特征.在詳細考察Dicke模型經典相空間結構特點的基礎上，采用經典-量子“一對多”的思想，即經典相空間中的一點對應于量子體系兩個初始相干態的演化，利用對兩個初態量子糾纏動力學演化取統計平均的方法，得到了與經典相空間對應非常好的量子相空間結構.數值計算結果表明:經典混沌有利地促進系統兩體糾纏的產生，平均糾纏可以作為量子混沌的標識，利用平均糾纏可以得到一種較好的量子動力學與經典相空間的對應關系.

Dicke模型，非旋波近似，量子混沌，經典量子對應

PACS:03.65.Ud，03.67.Hk，05.45.Mt，42.50.Dv

1.引 言

自然界中的混沌是普遍存在的，并且在許多科學領域都扮演了重要的角色［1，2］.在經典物理學中，混沌可以由系統對初始條件的敏感性來刻畫.在量子力學中，根據玻爾的對應原理，量子力學應用到宏觀運動上所得到的結果應該與經典力學的結果一樣.因此，經典力學中的混沌特征也必然要在其量子性質上有所表現.自從20世紀中期以來，人們在許多非線性系統中發現了量子混沌并逐漸認識到其重要性.但是，由于不確定關系，在量子力學中并不能像經典力學那樣對系統的運動做確定性的相空間描述，所以，有關經典混沌的量子標識問題和量子經典對應關系的研究充滿了挑戰性.近年來，隨著量子信息科學的發展，人們開始嘗試利用一些量子信息概念來理解量子混沌并取得了一些豐碩的研究成果.例如量子關聯或糾纏［3—13］、保真度［14—16］和自旋壓縮［17—20］等，這些成果揭示了量子動力學過程中混沌行為存在的本質，特別是有關量子混沌中糾纏性質成為人們的研究熱點之一.其根本原因在于糾纏是量子力學的核心和量子信息過程的一種重要資源，因此可以將糾纏作為量子混沌的一種標識，從而為量子混沌研究提供一種有效方法.Furuya等［3］研究 N個原子的 Jaynes-Cummings模型時發現，當系統處于經典混沌軌道，原子與光場之間線性熵的增長率比系統處在規則軌道時要大.在2009年的一期《Nature》雜志上，Chaudhury等［21］報道了實現有關量子混沌的一種實驗.他們在量子受擊陀螺模型中，利用糾纏作為量子混沌的標識，發現量子糾纏動力學與經典相空間結構之間具有一種非常好的對應關系.那么，對于描述光與物質相互作用系統的 Dicke模型［22］，由于非旋波近似條件下也表現為量子混沌動力學性質，是否在經典相空間結構與量子動力學之間也存在著這種較好的量子經典對應關系呢?本文在對非旋波近似條件下 Dicke模型經典相空間結構進行詳細考察后，發現經典相空間的任意一點與量子系統的兩個初始相干態相對應，利用對兩個初態的糾纏動力學演化取統計平均的方法，定義平均線性熵概念，得到了一種非常好的量子經典對應關系，從而為腔場中量子混沌實驗的實現提供一種新的思路.

2.Dicke模型

一般而言，Dicke模型是描述N個二能級原子與n模光場相互作用的典型理論模型.它在許多物理研究領域具有重要應用，例如原子核物理、量子混沌以及量子耗散等.本文只考慮N個二能級原子(量子比特)和一個單模輻射場相互作用情況，通過改變耦合系數來實現旋波近似和非旋波近似.忽略原子(量子比特)之間的相互作用，將原子系統作為一個大的自旋系統(N=2j)來處理.這時Dicke模型的哈密頓量可以寫成下列形式［4］:

式中ω和ω0分別是N個二能級原子的躍遷頻率和單模光場的頻率;λ是原子與場相互作用過程中的耦合系數;a，a是光場的湮滅和產生算符;Jz，J±是與原子的可觀測量有關的贗自旋算符，它們滿足SU (2)李代數

利用哈密頓量(1)式可以研究系統的糾纏動力學性質.但一個首要問題是如何選擇初始的量子態.這里，我們為了考察Dicke模型經典相空間結構與量子糾纏動力學之間的對應關系，可以通過選擇相干態作為初態來實現，即最小不確定波包中心集中在對應的經典相空間中.初始量子態選擇如下:

其中

為了得到與(1)式相對應的經典哈密頓量，從而更直觀地研究混沌動力學過程，利用 Holstein-Primakoff變換將Dicke模型的量子哈密頓量轉換為相應的經典哈密頓量［23］

上式對應的哈密頓運動方程可以表示為

3.經典相空間結構

根據經典動力學方程(9)，通過數值模擬計算，得到經典相空間的龐加萊截面圖.以往絕大多數研究工作都將四維相空間龐加萊截面降維到二維平面［5］，即只取(p1，q1，p2，q2)四個量中 q2=0，p2>0情形的龐加萊截面圖進行研究［2—4］.本文的目的是考察Dicke模型中經典相空間結構與量子糾纏動力學性質之間的對應關系，所以首先將四維相空間龐加萊截面降維到三維空間，即只取q2=0情形，得到系統整體三維龐加萊截面如圖1所示.三維龐加萊截面圖顯示包含有兩個子龐加萊截面圖，他們的空間結構具有以下明顯特點:1)每個子截面圖都有兩個較大的規則區和一些小的規則區域，這些區域具有周期性軌道的穩定運動，區域的中心一般為不動點，規則區域外為混沌區域，運動是不穩定的;2)兩個子截面圖分別代表 Dicke模型p2>0和 p2<0情形的經典相空間，而且它們以 p2=0為軸具有反對稱性;3)每個子截面圖都是以q1=0為軸對稱的.以上這些特點對于分析系統整體量子糾纏動力學與經典相空間之間的對應關系是至關重要的.

圖1 經典相空間的三維龐加萊截面圖 (參數分別為 ω=ω0=1，E=8.5

在圖1中我們可以清楚地看到，對于每個子截面圖而言，在上面任取一點都對應于一組確定的(p1，q1，p2)值，但是如果考察Dicke模型整個體系的相空間結構，需要將兩個子截面圖作為一個整體進行分析.這時可以發現，在圖1中(p1，q1)平面內任取一點分別對應于每個子截面上的一點.例如取(p1，q1)平面內一點M，則分別對應于兩個子截面圖上的M1和M2兩個點，即確定一個(p1，q1)值后，p2應該分別取p2>0和p2<0兩個值.所以，在量子系統動力學演化過程中，(6)式中經典相空間(p1，q1)取某個確定值μ后，則一定要對應(7)式ν(p2>0)和ν(p2<0)兩個值，將它們分別代入(3)—(5)式得到量子體系動力學演化的兩個初態.以上分析說明，考察Dicke模型中經典混沌對量子體系的影響，取每個子龐加萊截面圖經典相空間上的一點作為初始條件，必須對應兩個初始相干態的量子動力學演化，這樣才能完整地描述整個物理系統的量子力學性質.這種“一對多”現象經常出現在經典物理與量子力學之間.例如，如果兩個經典力學量之間滿足對易關系，則一個經典哈密頓量可以對應兩個量子哈密頓量.

4.平均糾纏動力學

在詳細分析Dicke模型經典相空間的結構特點后，下面我們利用約化密度線性熵來考察系統的糾纏動力學演化性質，嘗試找到一種好的量子經典對應關系.

糾纏線性熵定義如下［18］:

這里，Tr1表示對第一個子系統取跡，ρ1(t)=是約化密度矩陣，其中下角標1和2分別表示原子和輻射場子系統，ψ(t)是整個系統的量子態.

為討論問題的方便，我們將圖1中的三維龐加萊截面圖重新降維為二維平面圖，如圖2所示.其中，圖2(a)代表p2>0子龐加萊截面圖，圖2(b)代表p2<0子龐加萊截面圖.在圖2(a)中分別取p1= 2.2，p1=0，p1=-3.2三條直線穿過經典相空間兩個較大的規則區域和混沌海區域.由于每個子龐加萊截面圖是關于q1=0左右對稱的，分別在三條直線上q1=0左右兩邊對稱取兩點q1=-1.0和q1= 1.0考察糾纏動力學的演化規律.數值模擬計算結果見圖3.

圖2 經典相空間的二維龐加萊截面圖 (a)p>0情形，(b)p<0情形(參數分別為ω=ω=1，E=8.5，λ220=0.32)

圖3 經典相空間對稱點糾纏動力學演化曲線 (a)實線代表初始點為(p1=2.2，q1=1.0)，虛線代表初始點為(p1=2.2，q1=-1.0);(b)實線代表初始點為(p1=0，q1=1.0)，虛線代表初始點為(p1=0，q1=-1.0);(c)實線代表初始點為(p1=-3.2，q1=1.0)，虛線代表初始點為(p1=-3.2，q1=-1.0) (其他參數同圖1)

由圖3可以明顯發現，在經典相空間無論規則區域和混沌區域，取對稱兩點作為量子動力學演化的初態，線性熵的變化曲線都是不相同的，存在著一定的差異，說明量子相空間糾纏動力學不具有對稱性.造成這一差異的主要原因就是前面對經典相空間結構分析中所指出的，動力學演化過程中初態選擇具有經典量子“一對多”的特點.為了解決這個問題，得到較好的量子動力學與經典相空間的對應關系，下面我們定義平均線性熵來描述量子糾纏動力學的演化特點.平均線性熵定義如下:

其中，δ(p2>0)和δ(p2<0)分別表示體系任取一組(p1，q1)初始值，對應每個子龐加萊截面圖上一個初始值作為初態的線性熵.利用這種方法，我們以圖2(a)所示的子龐加萊截面圖為例，重新考察 p1分別取2.2，0和 -3.2時，糾纏動力學演化關于 q1=0的對稱性，數值模擬計算平均線性熵δm(t)隨q1的變化曲線如圖4所示.

圖4 對應子龐加萊截面圖2(a)平均線性熵δm(t)隨q1變化曲線 (a)p1=2.2，(b)p1=0，(c)p1=-3.2(其他參數同圖1)

由圖4可以發現，在三個不同的區域，平均線性熵δm(t)關于q1=0都具有非常好的對稱性(這里應該注意，圖4(a)—(c)三個子圖的橫坐標是不同的).在圖4(a)中，我們發現在q1=0處存在一個δm(t)極小值，正好對應經典子龐加萊截面圖2(a)中較大的規則區域，而極小值兩側的曲線逐漸增大，較好地刻畫了規則區域經周期性軌道過渡到混沌區域的變化;圖2(a)中p1=0這條直線是貫穿于混沌區域的，所以δm(t)值應該較大，在圖4(b)給出的曲線值較大且形狀非常平緩，很好地反映了經典相空間的結構;當p1=-3.2時，該直線貫穿于另一個較大的規則區域，而圖4(c)中的δm(t)曲線在中間剛好出現一段平緩部分，對應于圖2(a)中的規則區域.通過以上分析，我們發現在系統經典相空間與量子糾纏動力學演化之間存在一種非常好的對應關系，利用平均線性熵可以有效地標識量子混沌，而且經典混沌是促進系統原子與光場之間糾纏產生的，這一結論與文獻［2］是一致的.

圖5 取經典相空間上所有點為初態時，δm(t)隨時間演化灰度圖 (a)p2>0情況，(b)p2<0情況(截斷時間為t =30)

為了考察Dicke模型中糾纏動力學的整體演化情況，這里將每個子龐加萊截面圖(圖2)上的全體點作為初態進行演化，結果也驗證了上面的結論.如圖5所示，時間截斷為t=30，其中灰度圖的值為δm(t)值.可以發現，量子相空間的δm(t)分布結構與經典相空間(圖2)結構相比較非常相似，兩個較大的規則區域明顯，特別是經典相空間的一些小規則區域也得到了非常好的刻畫，這種相似的分布結構說明系統經典動力學與量子力學糾纏動力學之間存在緊密聯系，二者具有較好的對應關系.特別是，在經典相空間中除了兩個大的規則區域外，在其他一些混沌區域我們很難判斷系統混沌發生的強弱程度.但是δm(t)灰度圖可以十分清楚地給出空間不同區域混沌的強弱程度及規則區域到混沌區域的過渡效應，從而更好地揭示相空間結構.

5.結 論

本文研究了非旋波近似條件下Dicke模型的糾纏動力學性質，在詳細分析系統經典相空間結構的基礎上，發現在經典龐加萊截面圖上任取一點作為體系量子糾纏動力學演化的初態時，存在經典-量子“一對多”現象.我們利用統計平均的方法，通過定義平均線性熵，研究 Dicke模型經典相空間與量子動力學演化之間的關系，結果得到一種較好的量子-經典對應關系.此外，通過考察體系的整體糾纏動力學特性，發現可以更好地揭示相空間的混沌和規則結構.希望本文工作對推動腔場中量子混沌的實驗實現有所裨益.

感謝浙江大學王曉光教授對本文的有益指導.

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Relations of classical-quantum correspondence in Dicke model*

Song Li-JunYan Dong1)Gai Yong-Jie1)Wang Yu-Bo2)
1)(School of Science，Changchun University，Changchun 130022，China)
2)(School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022，China)

22 March 2010;revised manuscript

3 May 2010)

Dicke model displays quantum chaotic dynamic properties in the non-rotating wave approximation.On the basis of properties of the classical phase space of Dicke model，we employ the one-to-many notion，namely，evolution from one point on the classical phase space to two initial coherent states.Then we obtain a good quantum phase space，which corresponds to the classical one，by using the method of averaging the statistical entangled values of two initial states in the evolution.The numerical computation shows that classical chaos can promote the origination of bipartite entanglement，and simultaneously，the average entanglement can be regarded as the signature of quantum chaos.A good classica-quantum correspondence can be obtained by using the average entanglement.

Dicke model，non rotating wave approximation，quantum chaos，classical-quantum correspondence

*國家自然科學基金(批準號:10947019)、吉林省自然科學基金(批準號:20101514)和吉林省教育廳科技研究基金(批準號:2009237)資助的課題.

PACS:03.65.Ud，03.67.Hk，05.45.Mt，42.50.Dv

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant No.10947019)，the Natural Science Foundation of Jilin Province of China(Grant No.20101514)and the Science and Technology Research Program of the Education Bureau of Jilin Province，China(Grant No. 2009237).