利用韋達定理求解析幾何中的一些數(shù)學問題

在教學數(shù)學的解析幾何內(nèi)容中，經(jīng)常碰到有些題目需利用韋達定理來解答，并且有時利用韋達定理解答某些解析幾何題目時解答得很自然、很簡單、很美妙．譬如，求直線與二次曲線的相交弦的中點坐標、中點軌跡方程、截得弦的長、或由曲線外一點向曲線引割線，計算該點至兩點的線段和積等一類的問題時，這些問題往往可歸結(jié)為求直線與二次曲線相交弦的端點（x1，y1）、（x2，y2）的坐標，而解直線方程和二次曲線方程組成的方程組，其解便是端點的坐標．但是，若在求相交弦中點坐標或與端點坐標有關(guān)的問題，例如求端點之橫（縱）坐標之積，相交弦長等時，前面的方法便顯得繁瑣，其實，對于這類問題，重要的不是求x1、x2各是多少，而是只知它們的積或差是多少，而（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2，坐標差的問題實質(zhì)上也是坐標和積的問題，如果將直線方程代入二次曲線方程，便可消去一個未知數(shù)（x或y）可得另一個未知數(shù)的一元二次方程，由于x1＋x2，x1·x2容易轉(zhuǎn)化得來，因此，再利用韋達定理便可求解析幾何中的一些問題了，并且顯得很方便也很容易．

一、利用韋達定理求直線與二次曲線交點坐標積的有關(guān)問題

例如：過拋物線y2＝2px的焦點的一條直線和這拋物線相交，兩個交點的縱坐標是y1，y2求證： y1y2＝－p 2.

分析： 因為y1，y2為直線與拋物線方程所組成的方程組消去x后，所得的一元二次方程的兩根，故y1·y2的值可由韋達定理求得而不必逐個求出．

證明：（1）當直線垂直于x軸時，其方程為x＝■.

由此得y1，y2 ＝±p ∴y1y2＝－p 2

（2）當直線與x軸不相垂直時，則其方程可設(shè)為

y＝k（x－■）

由 y2＝2pxy＝k（x－■）， 消去x得ky2－2py－p2h＝0

由于y1，y2為該方程的兩根

∴ y1·y2＝－■＝－p2

綜合⑴⑵可得y1y2＝－p2.

二、利用韋達定理求已知二次函數(shù)與x軸交點間距離，確定常數(shù)系數(shù)的有關(guān)問題

例：已知函數(shù)y＝x2＋3x＋m，m取何值時，函數(shù)圖象與x軸交點間距離為5．

分析：只要充分利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，即韋達定理便很簡便就解答這一問題．二次函數(shù)у＝x2＋3x＋m與x軸交點，縱坐標y＝0，即轉(zhuǎn)變?yōu)閤2＋3x＋m＝0，設(shè)兩點橫坐標為x1 ，x2，根據(jù)已知條件│x1－x2│＝5，則可求m的值了．

解：∵y＝x2＋3x＋m

設(shè)函數(shù)與x軸交點橫坐標為x1，x2，且y＝0.

又由于（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2 ⑴

由韋達定理得：x1＋x2＝－3， x1x2＝m；x1－x2＝5（x1－x2）2＝52.代入⑴得

∴ 25＝(－3)2－4m

∴ m＝－4

∴ 當m＝－4時，函數(shù)圖象與x軸交點間的距離為5．

三、利用韋達定理求有關(guān)斜率問題后，再求有關(guān)直線方程問題

例如：在雙曲線x2－y2＝1左右兩支之間有一點P（1，2），過P作一直線L，與雙曲線交于M，N，并使M，N恰被P平分，求C的方程．

分析：因為已知要求的直線方程L，已過點P，所以，只需求出C的斜率問題就可以解決了，也即可寫出L的方程．由于已知點P為L與雙曲線相交所得線段MN的中點，故求得MN的中點的含k的表達式即可求得k值．

解：設(shè)L的斜率為k，由于L過P（1，2），故L的方程為y－2＝

k（x－1）.

由方程組 x2－y2＝1y－2＝k(x－1) 消去y，得

（1－k2）x2＋2（k2－2k）x－k2＋4k－5＝0 ⑴

∵ M，N為L與雙曲線的交點

∴ M，N的橫坐標x1，x2即為⑴方程的兩個根，由韋達定理得x1＋x2＝－■

∴ MN的中點的橫坐標為：x＝■＝－■

∵x＝1即－■＝1， 解得k＝■.

故L的方程為y－2＝■（x－1），即x－2у＋3＝0.

四、已知二次函數(shù)圖象與x軸的二交點間距離利用韋達定理確定二次函數(shù)的待定數(shù)值問題

例：已知二次函數(shù)y＝x2－2■x－2(2m＋1)(m－1)（m為實

數(shù)），當m為何值時，函數(shù)的圖象與x軸的二交點間的距離為1．

分析：若設(shè)x1，x2為二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點之橫坐標，兩交點的距離為│x1－x2│，再利用韋達定理便可求m的值了．

解：已知y＝x2－2■x－2(2m＋1)(m－1)（m為實數(shù)）

設(shè)x1，x2為函數(shù)圖象與x軸的二交點的橫坐標，且y＝0，則│x1－x2│為兩點間的距離．

又∵（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝[－2 ■]2－4·[－2(2m＋1)(m－1)]＝

4（2－4m2）＋8（2m2－2m＋m－1）＝－8m

又∵ │x1－x2│＝1

∴（x1－x2）2＝1

∴ －8m＝1，即 m＝－■

∴ 當m＝－■時，函數(shù)的圖象與x軸的的二交點間的距離為1．

由此可見，韋達定理在解析幾何中的妙用巧用.除此之外，韋達定理在解析幾何中還有更多方面的應(yīng)用，有待我們?nèi)ド钊胙芯咳ヌ剿鳎f達定理不但在數(shù)學的解析幾何中得到應(yīng)用，然而，在三解形中、在平面幾何中、在代數(shù)中都可以利用韋達定理來解決一些數(shù)學問題，總之，韋達定理在數(shù)學教學中應(yīng)用得非常廣泛，有時也非常美妙、非常簡便，常常起到事半功倍之效，只要我們認真研究探索，定會找出利用韋達定理解決更多更好更難的數(shù)學問題．

責任編輯 羅峰