“圖形的認識”的編排結構

人類生活在一個多姿多彩、形態迥異的圖形世界中，認識這個世界就是從認識人類生存空間開始。義務教育數學課程將“空間與圖形”作為數學基礎知識的一個重要組成部分，作為四大知識領域之一，是因為這些內容是一個當代公民生存和發展所必備的基礎知識和基本技能，是一個當代公民理當擁有的數學素養。

“空間與圖形”這一領域的內容共有4個分支，分別是圖形的認識、測量、圖形與變換、圖形與位置。其中，“圖形的認識”是這一領域中主干知識的組成部分，它主要研究三維空間中常見圖形的形狀和特征、基本元素、基本性質以及圖形之間的邏輯關系。這些內容是進一步學習圖形的大小、位置和變換規律的基礎。

在義務教育第一、第二學段，“圖形的認識”這部分內容的縱向結構如下：

如此豐富、繁多的幾何圖形，應該編織成一張怎樣的知識網絡才能讓6～12歲的兒童易于認識和掌握呢？下面對人教版教材有關“圖形的認識”這個分支的編排結構作初步的探究。

一、“圖形的認識”整體編排結構

小學新課程中的幾何，盡管已增加了簡單的合情推理和演繹推理的內容，但基本上是一種直觀幾何，或稱之為實驗幾何，它是在符合學科的基本原理的前提下，按由感性到理性、由簡單到復雜、由單一到綜合、螺旋上升來編排的。也就是說，它是按照兒童學習幾何知識的心理規律來系統編排的。

鑒此，小學階段有關“圖形的認識”這一內容就不能按上述“縱向結構”中的“序”進行編排，而應將兒童已有的空間經驗與學科的邏輯順序有機地結合起來，將兒童熟悉的圖形材料和認知特征結合起來進行編排，使之成為生動有趣、易讀易懂、和諧育人的兒童幾何課本。人教版教材有關圖形的認識是按以下的“序”來展開的：

一年級：認識物體和圖形，常見的四種立體圖形和常見的四種平面圖形（一上）→圖形的拼組（一下）。

二年級：認識線段、角的初步認識、觀察物體（一）（二上）→銳角和鈍角（二下）。

三年級：四邊形、平行四邊形（三上）。

四年級：直線、射線、角的定義、平角、周角、平行四邊形與梯形（四上）→三角形的定義、特性、三角形的分類、三角形的內角和（四下）。

五年級：觀察物體（二）（五上）→長方體和正方體（五下）。

六年級：圓、扇形（六上）→圓柱和圓錐（六下）。

上述六個年級認識圖形的內容，看似鋪排凌亂、難覓頭緒，實則邏輯有序、特點鮮明。其結構特點是：（1）認識圖形從三維空間開始、從常見的基本圖形開始；（2）主線結構基本上是按從一維到二維再到三維的縱線來展開的；（3）二維的平面圖形與三維的立體圖形交錯編排；（4）分段編排，逐步深入，螺旋上升。

二、認識圖形從三維空間和基本圖形開始

由于兒童最先感知的是三維世界，映入眼簾的、司空見慣的簡單物體的形狀都是立體的，因此教材遵循兒童對三維世界的感知和體驗，認識幾何圖形就從三維空間開始，從常見的基本圖形開始。

（一）認識四種常見的幾何體及視圖

在一年級引導學生認識常見的四種立體圖形：長方體、正方體、圓柱和球。這是幾何知識的啟蒙。教材的結構有如下特征：（1）為學生提供了大量的形狀分別是長方體、正方體、圓柱和球的各種物體，為觀察準備了充足的素材。（2）引導學生在觀察、觸摸、滾、推的活動中，感知上述四種幾何體的外部特征。如，學生感知到的“長方體是方方的，有6個面，每個面都是平平的、光光的”；感知到的“圓柱是圓圓的、可以滾動，側面是彎彎的”。（3）抽象出幾何圖形。抽象出長方體、正方體、圓柱和球的幾何圖形是這一學習活動的重點內容。因為這些幾何圖形直觀形象地表現了這四種幾何體的形狀與特點，是人的頭腦中關于這四種幾何體的表象，學生可以利用幾何圖形把這四種幾何體的特征儲存在記憶系統中，能時時體會這四種幾何圖形的空間感。（4）編排形式多樣的操作活動（如課本第35頁中的“做一做”和練習五的全部內容），讓學生在活動中進一步感知這四種形體的特征。

（二） 從三維到二維，認識四種常見的平面圖形

點、線、面是構成幾何形體的基本元素。由無數個點的累積成了線，由無數條線的累積成了面，由無數個面的累積成了體。教材在安排四種平面圖形的認識時，緊緊扣住面和體之間的邏輯關系，引導學生在認識立體圖形的基礎上認識平面圖形。其編排的特點是：（1）精心安排學生自畫四種平面圖形。讓他們利用手中的形狀是長方體、正方體、三棱柱、圓柱的實物或模型，畫長方形、正方形、三角形和圓，讓學生在畫這些圖形的過程中體會平面圖形原來就是某物體的一個面，初步感知平面與立體之間的關系，感受三維與二維的轉換。（2）四種平面圖形的編排結構與四種立體圖形的編排結構基本相同。

（三） 編排拼組活動，強化圖形特征，感知圖形之間的關系

認識四種常見的立體圖形和平面圖形，是學習幾何知識的開始。為了讓學生清楚地把握這些圖形的特征，體會平面圖形之間、立體圖形之間、平面圖形和立體圖形之間的關系，教材在一下單列一個單元（第三單元），編排了“圖形的拼組”活動。指導學生在折一折、擺一擺的活動中把握長方形和正方形、長方體和正方體、長方形和圓柱、正方形和圓的特征以及它們之間的關系。如，通過“折一折”的活動（如圖1），使學生看出長方形的對邊相等，正方形的四條邊相等；通過“擺一擺”的活動，將四個大小相同的正方形拼成一個大正方形（如圖2）；將8個大小相同的正方體拼成一個大正方體（一下教材第28頁例3），體會長方形與正方形、長方體和正方體之間的關系；通過“做一做”的活動，用圓剪出一個正方形、用一張長方形紙做一個圓柱形的圓筒（如圖3）等，體會正方形和圓、平面圖形和立體圖形之間的關系。這些有趣的拼組活動，可加深學生對構成圖形的基本元素“邊”、“面”的特征以及相互關系的理解，為后續進一步研究圖形的性質奠定了基礎。

三、分段編排，逐步深入，螺旋上升

《數學課程標準》指出：“重要的數學概念和數學思想宜體現螺旋上升的原則。”幾何基本圖形，不管是一維的還是二維的或三維的，都是重要的數學概念，理解和掌握這些概念不能一蹴而就，不能企圖通過幾節課、做幾個練習就能達到目的，它是一個較長的學習過程，是一個認識、實踐、再認識、再實踐的循環往復的過程。因此，教材在編排時采用了“圖形的認識從外部形狀到內部元素，圖形的研究從內部性質到外部關系”的編排策略，遵循了由簡單到復雜、由單一到綜合的逐步深入、螺旋上升的編排原則，即先認識圖形的外部特征，再認識圖形的基本元素，然后研究圖形的性質及其之間的關系。由于這個認識過程比較漫長，因此，多數圖形的認識都分段編排，呈現“初步感知——系統研究”的編排順序。

（一）一維的直線型圖形

一維空間的直線型圖形，有線段、直線和射線。這部分內容盡管分量少、難度小，但因為直線是不給定義的原始概念，比較抽象，在生活中很難找到相應的模型，所以教材仍然分兩段進行編排。在二年級上學期結合長度單位厘米的學習，直接引入線段的認識（如圖4）。

當學生的理解能力有所增強，到四年級上學期結合角的度量、構成角的基本要素（邊）的學習引入直線、射線的認識（如圖5）。在這兩個年級引入線段、射線、直線的概念，采用的是同一種方法，即由觀察具體的事物或圖形形成表象，然后再由表象經過抽象、概括而形成概念。最后組織學生分析比較，概括每個概念的本質特征以及這三個概念之間的聯系與區別（如圖5），從而形成有關“直線、射線和線段”的概念系統。這樣直線、射線和線段的認識雖然放在兩個學段不同的年級完成，但知識并沒有割裂，而是逐步深入，逐步完善的。

（二）二維的平面圖形

二維空間的平面圖形有角、三角形、四邊形（長方形、正方形、平行四邊形、梯形）、圓和扇形。二維空間的圖形種類多，內涵豐富，在“線、面、體”的邏輯順序中起著承上啟下的作用。因此，平面圖形的認識在整個小學階段占有相當重要的地位。為了使學生形成有關平面圖形的良好的認知結構，教材一方面以“圖形分類”的標準為線索，在不同的學段、不同的年級進行編排。如，四邊形按對邊是否平行可分為三類，一類是平行四邊形，一類是梯形，還有一類是任意四邊形。教材先編排有關平行四邊形的認識，再編排梯形的認識。另一方面，以“由簡單到復雜、由易到難”的原則進行編排。如，長方形的認識，一年級時認識對邊相等，三年級時再認識四個角都是直角；又如，三角形的認識，一年級時認識三角形有三條邊，到了四年級，才給出定義、研究其性質和分類，逐步形成有關三角形的概念系統。

1. 角。角是構成幾何圖形的基本元素，也是最簡單的非封閉幾何圖形。教材在二年級上下兩個學期引入“角”的初步認識，呈現“角→直角→銳角和鈍角”這樣一個編排結構。在這個學段，教材的編排有以下特點：（1）直接從學生熟悉的物體表面抽象出大小不同的角的圖形，不給出角的定義（因為射線的學習在第二學段），只是借助圖形直觀地描述它。如“∠、、”，這些圖形都是角。（2）認識構成角的兩個基本元素：頂點和邊。讓學生理解：一個角的外形不管是“尖尖的”、“直直的”或“鈍鈍的”，都有共同的本質——同一個端點、兩條邊（即射線）。（3）先認直角，再以直角為標準，認識銳角和鈍角。這部分知識的編排，體現了“外部感知→內部要素→相互關系”這樣一個結構特點。

到了第二學段，在四年級則引導學生系統學習“角”的知識。一方面給“角”下定義，另一方面，把角的研究范圍由0°～180°擴充為0°～360°，認識平角和周角，繼而學習角的分類，形成有關角的概念系統。

2. 三角形。由于三角形在生活和生產中有著廣泛的應用，它的許多性質（如勾股定理、余弦定理等）從古到今都是數學研究的重要內容，因此，教材在一年級初步認識三角形的基礎上，到四年級下學期單列一個單元（如圖6）來研究三角形的有關邊和角的性質，研究三角形的分類（如圖7）。這部分內容的編排順序和特點是：（1）設計“一短一長”兩個教學段開展教學活動。一年級為教學短段，只是初步認識，整體感知三角形有三條邊，僅此而已。四年級是一個教學長段，按4個知識塊（三角形的特性、三角形的分類、三角形的內角和、圖形的拼組）來系統學習三角形的知識。（2）研究三角形的性質（穩定性、任意兩邊的和大于第三邊、內角和為180°）的方法主要是觀察法、試驗法和不完全歸納法。讓學生經歷觀察、試驗、驗證、抽象、概括的數學活動過程，在有限次試驗的基礎上推導出三角形的性質。（3）三角形的分類重點放在按角分類的方法上，放在用集合圖揭示三種三角形之間的關系上（如圖7）。按邊分類的編排，與按角分類的編排是不同的，教材不強調分成幾類，而是把重點放在等腰三角形和等邊三角形特征的研究上。這是因為按邊分類容易產生歧義。若將三角形分成三類（不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形），那么等腰三角形就包含了等邊三角形。根據分類的邏輯規則，分類所得的各個子項應當是互相排斥的，不能互相交叉。因此，把三角形按邊分成三類是不妥的。

3. 四邊形。四邊形的編排結構與四邊形自身的邏輯結構大相徑庭。四邊形的編排結構是：長方形的認識→正方形的認識→四邊形的認識→平行四邊形的認識→梯形的認識。而四邊形的邏輯結構如圖9所示。為什么會有這么大的差異呢？這就是學科課程的顯著特點，它遵循了學生學習幾何的心理規律，在學生熟悉的、“已知”圖形的基礎上開展認知活動。這個知識塊的編排特點是：（1）從常見的、一般的圖形開始（先認識長方形和正方形，前面已涉及，在此不再贅述）。（2）依據四邊形的分類規則依次認識圖形。先認識兩組對邊分別平行的四邊形——平行四邊形，再認識只有一組對邊平行的四邊形——梯形。（3）從特殊到一般，再從一般到特殊，交錯進行。如，對平行四邊形而言，在一年級認識長方形、正方形（它們是特殊的平行四邊形），三年級時才認識平行四邊形（一般），呈現特殊到一般的特點；又如，對長方形而言，先認識長方形（一般），再認正方形（特殊的長方形），呈現一般到特殊的特點。（4）揭示四邊形之間的關系。針對四邊形集合中的諸多元素，引導學生根據各自的特征進行討論和梳理（圖8），用集合圖揭示它們之間的關系，把一～四年級所學的零散的四邊形相聚在一個集合圈里，以一個有著結構關系的知識塊儲存在學生的大腦中。

4. 圓與扇形。圓是一種最常見最體現數學美的曲線圖形。由于圓的概念比較難理解，涉及動點的軌跡思想或集合思想，因此在小學階段不給出定義，而是引導學生在觀察諸多圓形物體的表面后，在把握其本質特征的基礎上直觀地概括出圓的概念。圓的認識安排在兩個不同的學段，在一年級時，只認識它的外形特征，知道它是圓圓的、是圓柱的一個底面，直到六年級上學期，才系統學習圓的知識。其結構特點是：（1）通過畫一畫、折一折的操作活動認識圓的基本要素（圓心、半徑、直徑）；（2）在畫一畫、量一量的活動中，掌握圓的本質特征（如圖10）：同圓的半徑相等、半徑的長度是直徑的，圓是軸對稱圖形。

（3）在動手畫圓的活動中，會使用工具，會畫規定大小的圓。

扇形在教材中作為選修內容，放在“你知道嗎？”這個閱讀性欄目中（如圖11）。只要求認識什么是扇形，什么是圓心角，理解在同圓中，扇形的大小與圓心角的大小有關即可。由于在統計與概率領域中要學習扇形統計圖，因此這一內容的學習可作為必學內容來處理。

（三）三維的立體圖形

三維的立體圖形有長方體、正方體、圓柱、圓錐和球。盡管這些圖形在生活和生產中是最常見的，但由于它們比平面圖形要復雜得多，因此，立體圖形的研究主要放在五、六年級進行。

1. 長方體和正方體。學生在一年級（上冊）初步認識了長方體和正方體，在生活中經常無意識地感知形狀是長方體、正方體的物體，在此基礎上，教材對第二次認識長方體和正方體的編排，分以下五個層次逐漸展開：（1）抽象出長方體的幾何圖形，給出構成長方體的基本元素的名稱——面、棱、頂點，整體體會這一圖形的空間感。（2）在6個問題的指引下，有序地觀察、數數和交流（如圖12），概括出長方體的面數、棱數和頂點數，了解相對的面的形狀和大小關系，了解相對棱的長度的關系。（3）研究決定長方體體積大小的棱長，認識長、寬、高，讓學生在制作長方體框架（課本第29頁例2）的過程中，了解相對的3組棱長的特征。（4）認識正方體的特征，其編排結構與長方體基本相似（如圖13）。（5）理解長方體和正方體的關系，比較長方體與正方體的相同點和不同點，體會正方體不但具備長方體的全部特點，還具備長方體沒有的特點，理解正方體是特殊的長方體，并用集合圖揭示它們之間的包含關系（如圖13）。

2. 圓柱和圓錐。圓柱和圓錐的編排結構與長方體和正方體的編排結構大體相同。主要有這樣幾個層次：（1）呈現現實生活中具有圓柱特征的物體的圖片，從這些實物中抽象出圓柱的立體圖形，體現了由形象—表象—抽象的過程。（2）認識構成圓柱的基本元素——底面、側面和高，探究圓柱的特征——兩底面是大小相等的圓，側面是曲面。（3）從旋轉的角度認識圓柱，通過快速轉動貼有長方形紙的小棒，讓學生感受平面圖形與立體圖形的轉換。（4）認識圓柱側面展開圖，理解側面、底面之間的關系，讓學生剪開側面，使其親歷立體圖形與其展開圖之間的轉化，看到側面展開圖是長方形或正方形，圓柱展開得到的長方形的長就是底面的周長、寬就是圓柱的高。圓錐的編排結構與圓柱基本相同。

四、用兩個認識循環編排“觀察物體”

觀察物體是新課程增加的內容，《數學課程標準》對這部分內容的要求分為兩個層次：第一層次在第一學段，要求是“辨認從‘正面、側面、上面’觀察到的簡單物體的形狀”，即能由物體的形狀想象出相應的幾何圖形；第二層次在第二學段，要求“能辨認從‘不同方位’看到的物體的形狀和相對位置”，這個表述是不夠明確的，但從它所舉的例子來分析，應理解為“能辨認從正面、側面（左側面，與初中要學的三視圖銜接）、上面觀察到的物體的形狀和相對位置”，基于這樣的思考，教材將觀察物體的內容放在兩個學段，用兩個認識循環進行編排。

第一個認識循環編排在第一學段的二年級，內容是：以前（正）、后、側三個位置作為視角，對一個簡單物體進行觀察，研究看到的形狀。其編排特點是：（1）選擇單個物體（恐龍玩具）為觀察對象。（2）從不同位置觀察同一物體，初步理解因觀察的位置不同，所看到的形狀是不一樣的，讓學生體會局部與整體的關系，滲透一點辯證唯物主義的思想。這是觀察物體的初級階段。

第二個認識循環編排在第二學段的五年級，內容是：從正面、左面和上面這三個位置對物體進行觀察，研究得到的平面圖形的形狀。其編排特點是：（1）引導從不同方向觀察立體圖形，感知看到的形狀是不同的，在任一位置，都不能同時看到所有的面，最多只能看到它的三個面（如例1的上半部分圖）。（2）重點放在從正面、左側面和上面這三個位置進行觀察，能辨認從這三個位置觀察立體圖形所得到的平面圖形的形狀（如例1的下半部分圖）。（3）變換觀察對象的數量和形狀，逐步提高觀察的難度。觀察對象的數量由1個到2個（如例2及做一做），觀察對象的形狀是由多個小正方體組合的可變換的立體圖形（例3及做一做），進一步引導辨認從不同方向觀察到的兩個物體（或組合體）的形狀和相對位置，體會從同一角度觀察不同形狀的立體圖形（變換例3中組合體的形狀），得到的平面圖形可能是相同的，也可能是不同的。

教材是諸多教學資源中的主流資源。要用好教材，首先就要用結構化的認知和思維方式來解讀教材，使自己真正成為編者的知音。作為教師，在實際教學過程中既要弄清楚編者對“圖形的認識”這個分支的整體設計，又要深諳每一個圖形的編排結構和編排特點，只有這樣，才能在頭腦中形成圖形認識的縱橫結構，才能在教學中游刃有余地駕馭教材，促使教材良好的編排結構順利地轉化為學生的認知結構。（作者系江西省教研室原小學數學教研員）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文