“圖形與位置”的教學思考

從《數學課程標準》(實驗稿）看，小學數學課程中的空間幾何學習，被概括為“空間與圖形”，“圖形與位置”是“空間與圖形”中的重要內容之一。在實際教學中，經常有教師提出疑問，比如，為什么要在小學里增加“圖形與位置”的教學內容？確定位置時，如何區分左右？用數對確定物體的位置時，為什么要先“列”后“行”？圖形與位置中的有些內容，科學課、品德與生活課中也有，為什么在數學課中也要學習這些知識？怎么處理“圖形與位置”和其他學科相應內容學習之間的關系？

透徹理解圖形與位置的“前世今生”，有助于更好地把握教材。仔細研究教材中關于“圖形與位置”的內容，可以知道分了這樣兩塊內容：（1）確定物體的相對位置，包括物體相對于觀察者的位置、物體和物體的相互位置以及物體在其參照物下的位置；（2）辨認方向和使用路線圖（包括比例尺的應用）。它們實際上分別對應了中學要學習的“平面直角坐標系”和“極坐標系”，它們都是平面上確定位置的方法。

一、背景鏈接

1.平面直角坐標系。坐標的思想是法國數學家和哲學家笛卡兒創立的。傳說有一天，笛卡兒生病臥床，突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”，使笛卡兒突然想到，如果把蜘蛛看做一個點，它在屋子里可以上、下、左、右運動，那么，用一組數（a，b），不就可以表示平面上的任意一個點了嗎？在蜘蛛的啟示下，笛卡兒創建了直角坐標系。

如圖，在平面“二維”內畫兩條互相垂直，并且有公共原點O的數軸，就形成了直角坐標系。平面直角坐標系有兩個坐標軸，一個是橫軸，即x軸，一個是縱軸，即y軸。坐標系所在平面叫做坐標平面，兩條坐標軸的公共原點，就是平面直角坐標系的原點。x軸和y軸把坐標平面分成四個象限，右上面的叫做第一象限，其他三個部分按逆時針方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。一般情況下，x軸和y軸取相同的單位長度。建立平面直角坐標系后，對于坐標系平面內的任何一點，可以確定它的坐標。反過來，對于任何一個坐標，可以在坐標平面內確定它所表示的一個點。

常說的第幾列第幾行，數對（m，n）就是直角坐標。

2.極坐標系。極坐標系也有一個原點O，然后是極軸。對于點P，就用OP的長度（極徑）及OP相對于極軸的角度（極角）來刻畫，如P（3，60°）。

常說的北偏東30°方向3千米處，說的就是極坐標。

兩種坐標系刻畫位置的方法，既有不同點，又有一些相同點：都要有原點，都要用兩個要素來刻畫。這兩個要素可以是兩個長度，也可以是一個長度、一個角度。

二、目標把握

考慮到認識不能一次完成，往往需要多次反復，逐步加深理解，所以在《數學課程標準》（實驗稿）中，與其他內容一樣，圖形與位置的具體目標也是分兩個學段陳述的。

第一學段：（1）會用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置。（2）在東、南、西、北和東北、西北、東南、西南中，給定一個方向（東、南、西或北）辨認其余七個方向，并能用這些詞語描繪物體所在的方向，會看簡單的路線圖。

第二學段：（1）了解比例尺，在具體情境中，會按給定的比例進行圖上距離與實際距離的換算。（2）能根據方向和距離確定物體的位置。（3）能描述簡單的路線圖。（4）在具體情境中，能用數對來表示位置，并能在方格紙上用數對確定位置。

顯然，在第一學段中主要學習根據方向來確定位置。到第二學段，要學習根據方向和距離兩個維度來確定物體所在的位置。相比來說，第二學段的內容，既要聯系已有的方向經驗，又要應用度量角和畫角的方法以及比例尺的知識，來進一步了解方向、體會距離、發展空間觀念。可以看出，第二學段內容的學習所涉及的知識技能比較多，教學有一定的難度。

三、教材梳理

在人教版教材中，共五次出現圖形與位置的教學內容。分別出現在一年級下冊第一單元“位置”、三年級下冊第一單元“位置與方向”、四年級下冊第二單元“位置與方向”、六年級上冊第一單元“位置”及第三單元中的“比例尺”。

1.確定物體的相對位置。第一學段的重點，是讓學生在具體情境中學會觀察、描述物體的相對位置。在人教版一年級下冊第一單元中，安排了用兩個要素來確定物體的位置。教學時，可以從三個方面來教學：（1）誰在第幾組第幾個；（2）第幾組第幾個是誰；（3）比較前后或左右同學是組相同還是個數相同。

用兩個要素來確定物體的位置，學生在日常生活中已有一些感性認識，因此，在教學時，要注意聯系學生的生活實際，結合學生座位引出位置，使學生認識到用兩個要素表示一個物體的位置非常簡明，并從另一個角度感受數學的作用。

第二學段要求學生用數對表示位置或者根據數對借助方格紙確定位置，進一步提升學生的已有經驗，培養學生的空間觀念，為第三學段學習“圖形與坐標”的內容打下基礎。

在六上第一單元教學“位置”時，教材呈現了確定多媒體教室中學生的座位這個情景，涉及兩個問題：（1）通過找哪個是張亮同學，明確“列”和“行”的含義，確定第幾列及第幾行的一般規則。（2）如果用（2，3）表示張亮同學的位置，那么王艷、趙強的位置在哪里？比較有什么不同，強調有序數對中兩個數順序的重要性。在教學時，要讓學生明確，確定第幾列、第幾行的一般規則：先說列，再說行；從左往右數列，從下往上數行。這樣就與在平面直角坐標系中表示一個點的位置相一致。

在方格紙上用數對表示一個物體的位置時，要把具體環境中的物體的位置關系，在方格紙上表示出來，也就是在方格紙上，要畫出物體的平面示意圖，這時物體可以用一個點代替。學生在用數對表示物體的位置時，既可以是具體情境中的位置，也可以是方格紙上點的位置，不用區分它們有什么不同。

“確定位置”內容的教學，第一學段是讓學生從兩個維度，用兩個“第幾”來描述物體的位置，不要求用“數對”描述。第二學段再抽象成“數對”，學習用數對來描述物體在一個平面中的位置，并學習在方格紙上用數對來尋找、確定位置。這時，數對的認識與折線統計圖定點、描點的學習，可以起到相互促進、相得益彰的教學效果。

2.辨認方向和使用路線圖（包括比例尺的應用）。第一學段的重點在于認識方向，會用方位詞描述物體所在方向，分別是上、下、前、后、左、右、東、南、西、北和東北、西北、東南、西南。這些內容以前是作為常識性的知識，分布在科學課、品德與生活課中，沒有作為小學數學正式的教學內容。為了加強學生把握空間的能力，改變過去教材少“空間”多“計算”的做法，可把這些內容納入到幾何教學的范疇。

說書的經常說：“眼觀六路，耳聽八方。”這里的六路，即是“上、下”“左、右”“前、后”這三對方位，正好對應著三維空間的三個方向。這里的八方，即是平面上以一個方向為基準點，順時針順次旋轉個45°所得到的方向。

“會看簡單的路線圖”只要求指出每次行進的方向，主要通過一年級下冊和三年級下冊2個單元的9個例題來實現。

第二學段要求用方向和距離兩個要素來描述、確定物體的位置，進而運用方向和距離畫出路線圖，并根據比例尺和圖上距離求出實際距離，或者根據比例尺和實際距離求出圖上距離，使學生進一步從方位的角度認識事物，更全面地感知和體驗周圍的事物，發展空間觀念。

在這里，要注意以下兩點：（1）要結合生活實際，讓學生了解確定位置的重要性。如通過“公園定向越野賽”的情境，引出如何根據方向和距離確定位置的知識，讓學生知道確定位置在生活中的應用，體會數學與日常生活的密切聯系。（2）要提供豐富的活動情境，幫助學生掌握根據方向和距離確定位置的方法。如通過讓學生在平面圖上標出校園內各建筑物的位置、根據同伴的描述畫出路線示意圖等活動，使學生在熟悉的環境中，通過自主探索和合作交流解決實際問題，掌握根據方向和距離確定位置的方法。

經過梳理，可以知道，“圖形與位置”的教學內容需要理解的“知識性內容”所占比重較小，主要是建立方位詞的使用和圖示方式與方法，要突出的是操作技能，教材的設計也都更傾向于貼近現實生活。

四、問題解答

現在可以回答老師們在文首提出的問題了。

1.為什么要在小學里增加“圖形與位置”的教學內容？第一，“圖形與位置”的知識對日常生活及今后的學習都十分有用。了解確定方位的方法，辨認物體的方向，能看懂自己生活中的路線圖等都是學生必須掌握的基本技能之一，有必要進行系統的學習。“確定位置”“在電影院里找位置”“看書找第幾行第幾個字”等，目的是使學生能夠在具體情境中根據列、行來確定物體的位置，這也是進一步學習“在具體情境中，能用數對來表示位置”的前奏，為今后進一步學習直角坐標系做了準備。

第二，“圖形與位置”的內容是學習“空間與圖形”的起始。學生關于圖形與順序的知識來自于豐富的現實原型，是學生從熟悉的環境中建立空間觀念的一條有效途徑。在進行“圖形與位置”方面學習時，可以發現，學生在地圖上能辨別東西南北，但在現實中辨別東西南北比較困難，有時還發生混亂。在解決這類“平面”與“空間”矛盾時，學生的空間觀念也可以得到發展。

第三，在解決位置與方向此類問題時，學生能形成初步的觀察、分析、判斷能力和一些基本策略。

總之，“圖形與位置”的增加豐富了空間與圖形的內容，為更好發展學生的空間觀念奠定了堅實的基礎。

2.確定位置時，如何區分左右？經常有老師問，確定一幅照片的左右時，是站在自己的角度，還是以圖中的人為參照來確定？回答是，左右是一組相對概念，確定左右時，通常要考慮站在誰的角度觀察，以什么為中心。

（1）當談論某物的左右時，通常是站在說話者的角度，如圖1，一般說“圓的左邊有3個四邊形，右邊有4個四邊形”。

（2）當談論照片中某人的左右時，是以照片中的人為中心，但是站在誰的角度觀察，要視談論的內容而定。

①如果談論的是照片中人物身體的一部分，或與這個人密切相關的對象時，應站在相片中人物的角度觀察，如圖2中小女孩右手上有什么？小女孩的右手托著球。

②如果談論時把這個人作為一個整體，和照片中其他部分（含人物）比較，一般是從談論者的角度觀察，如圖3、圖4中，“羊羔的右邊是母雞”、“小男孩的左邊是奶奶”等。目前，在各大紙質媒體中，涉及圖片中人物的標注時，一般所說的“左三”、“右二”等，都屬于這種情況。

3.用數對確定物體的位置時，為什么要先“列”后“行”？數對相當于坐標，可以很容易地判斷出某一處的位置。生活中處處都是數對。在確定數對時，要先寫列，再寫行，這是一種規定與習慣，隨意變換“列”與“行”的位置，會發生歧義，因此，應當對學生重點強調。這也和中學要學的平面直角坐標系的表達相一致。有了數對，就能很容易地表示出某一點的位置。數對不僅能表示二維空間（長，寬），還可以表示三維空間（長，寬，高）或四維空間（長，寬，高，時間），世界上的所有點都可以用數對表示，數對給我們的生活帶來了極大的方便。

4.“圖形與位置”中的有些內容，科學課、品德與生活課中也有，為什么在數學課中也要學習這些知識？“圖形與位置”的部分內容，在科學課、品德與生活課中確實存在，但是，數學課中學習這個內容與科學課、品德與生活課最大的不同，是用數學的視角去觀察，用數學的語言去表達，用數學的思維去研究，用數學的方法去解決問題。數學課上，學習這方面的知識更系統、更廣泛、更深刻，更有利于培養學生的空間觀念與思維能力，也為學生的后續數學學習服務。通過這種學習，不斷地促進學生對已有認知結構進行完善和重組，以實現對數學基礎結構的同化和順應，包括知識、方法、價值觀等，并促進心智發展，最終獲得科學的態度、嚴謹的思維以及解決問題的方法。（作者單位：江西教育期刊社）