“圖形與變換”的教學思考

一、引進的背景

為什么要在基礎教育階段引進圖形變換的內容，怎樣認識這一引進的必要性和可行性？不妨從數學本身和數學教育的歷史視角切入討論。

約公元前300年，古希臘著名數學家歐幾里得在前人基礎上所寫成的不朽名著《幾何原本》，幾乎包括了中小學所學習的平面幾何、立體幾何的全部內容。如此古老的幾何內容，自然成了歷次數學課程改革關注的焦點。其中最為激進的，如法國布爾巴基學派主要人物狄奧東尼（J.A.Dieadonne），甚至喊出了“歐幾里得滾出去”的口號。但改來改去，歐幾里得幾何的一些內容，仍然構成了多數國家中小學數學幾何部分的主要內容。有人稱之為“不倒翁現象”。這是因為，歐氏幾何從數學的視角，提供了現實世界的一個基本模型，非常直觀地反映了我們人類的生存空間，刻畫了我們視覺所觀察到的物體形狀及其相互位置關系。所以，這個模型的基本內容是學生能夠理解和掌握的，而且應用廣泛的基礎知識。它比較適合中小學生學習，也有利于引導中小學生從形的角度去認識我們周圍的物體和生活空間。

盡管歐氏幾何仍然具有難以替代的學習價值，但在以往的教學中，它又確實逐步暴露出一些問題，例如內容體系比較封閉，脫離實際，教學代價太大等。這些問題需要數學課程的設計者與數學教學的實踐者共同去面對、去解決。那么，怎樣改造這些傳統的、古老的幾何內容，怎樣克服教學上的相關弊端呢？

一條途徑是教學法方面的改進。首先是內容的精簡與演繹體系的通俗化。如精選一些具有實用價值和對繼續學習發揮基礎作用的內容，打破封閉的公理體系，擴大公理系統，降低證明難度等。其次是突出幾何事實與幾何應用，重視幾何直觀，以及合情推理對于演繹推理的互補作用等非形式化策略。

另一條途徑是用近現代數學的觀點，高屋建瓴地處理傳統的內容。其中幾何圖形的運動變換觀點就是這樣的重要觀點之一。

從數學發展的角度來看，1872年，德國大數學家克萊茵（Klein，1849—1925）在愛爾蘭根大學宣讀了現在大家叫做“愛爾蘭根綱領”的演說，提出用變換群將幾何分類，認為一種幾何無非是研究某種變換群下的不變量。這是一個里程碑式的論斷，它改變了近兩千年來人們用靜止的觀點研究幾何的傳統方法，從變換的視角整體考慮幾何學的問題，使當時的各種幾何學有了統一的形式，對幾何學的發展起到了重大的推動作用。“愛爾蘭根綱領”公開發表后，很快被人們接受，一些新的幾何分支相繼建立，幾何學的理論及應用呈現出前所未有的局面。必然地，這一觀點也會對基礎教育數學課程中幾何教學的改革產生影響。

按照克萊茵的觀點，我們所研究的幾何圖形的種種性質，只不過是研究幾何圖形在各種幾何變換下的不變性和不變量。例如，線段的長度不變、角的大小不變和直線的性質不變，等等，都是在全等變換下的不變量和不變性。但線段的長度不變，在相似變換下就不再存在(相似比為1除外)。于是兩線段的比不變，又成了相似變換下的不變量。正是這些建筑在不變量和不變性基礎上的圖形性質，構成了我們所研究的幾何基本內容。

從國際上數學課程改革的歷程來看，第二次世界大戰以后，特別是在上世紀60年代的“新數學”改革的浪潮中，將運動觀點引入幾何成了一種時尚。確實，圖形的變換是研究幾何問題的有效工具，引進變換能使圖形動起來，有助于發現圖形的幾何性質。相關的許多實驗，有的因觀點太高而失敗，但也有許多成功的嘗試。特別是平移、旋轉以及軸對稱、中心對稱等觀念已被不少國家的中小學教材所吸收，并放在比較重要的位置。如果說，集合與對應思想的滲透，在某種意義上給傳統算術與代數注入了新的血液，那么，運動變換觀點的滲透，則在一定程度上給歐氏幾何提供了更高的數學觀點和更新的研究視野。

由此可以說，將圖形變換的觀點和內容適當地引入我國基礎教育的數學課程中，順應了數學科學和數學教育的發展趨向。

從兒童的生活世界來看，他們已經接觸到了大量的物體、圖形的平移、旋轉或軸對稱變換現象。例如，電梯、地鐵列車車廂在平行移動，時針、電風扇葉片在旋轉，許多動物、建筑物的形狀具有對稱性。這些現象為兒童學習圖形的變換提供了豐富多彩的現實背景。反過來，學習一點圖形的變換知識，也有助于兒童更好地觀察、認識周圍生活中的這些現象。

從年齡特征與認知特點來看，小學生正處在好奇心濃厚的階段，通過圖形的變換，可以引出無數美妙的圖案，可以使數學更生動地與現實世界聯系起來，從而誘發學生主動探索其中的奧秘，激勵他們用圖形變換的觀點去審視周圍的事物。

這些，都是在小學引進圖形變換的有利條件。可以說，通過感知和初步學習圖形的變換，不僅有助于學生從運動變化的角度去認識事物，去了解圖形之間的聯系，從中發展他們的空間觀念和幾何直覺，而且還有利于學生感受、欣賞圖形的美，感受數學與現實世界的聯系，有利于他們體驗學習“空間與圖形”的樂趣，增強對數學的好奇心，激發創造潛能。

當然，充分肯定引進圖形與變換這部分內容的作用，并不是說它比其他內容更重要，更不能認為它可以代替其他內容的學習。之所以添加圖形與變換，主要是因為學生只學習傳統幾何內容不能適應時代要求，增加這部分可作為必要補充。

二、概念的理解

以往的中小學數學課程，在平面幾何與立體幾何中，一般只討論圖形的對稱性，圖形的平移變換與旋轉變換是在解析幾何的坐標變換中討論的。而在過去的一段時期內，坐標變換又被作為較高要求略去不講。中等師范學校的數學課程大多也這樣處理，教師在職進修大專學歷的數學課程通常直接從空間解析幾何或數學分析切入。所以有關平面圖行平移與旋轉的知識成了多數小學教師數學知識的盲點。因此，盡管整個義務教育階段都不要求從比較嚴格的幾何變換定義出發來研究變換的性質，但為了搞好這部分內容的教學，教師有必要較透徹地理解圖形變換的有關概念。

通俗地講，所謂平移，就是將一個圖形按一定的方向移動一定的距離；所謂旋轉，就是將一個圖形繞一個頂點轉動一定的角度。這樣描述，比較適合中小學生的認知水平，但對教師來說，絕對是不夠的。請看一個案例。

在一堂教學平移與旋轉的公開課中，老師創設了一個玩游樂場的情境。當討論到摩天輪的運動時，起初同學們都認為是旋轉。不料一位同學執著地要求發言，他說：老師，我坐過摩天輪，我坐在上面，始終是頭朝上、腳朝下，所以我認為我坐在上面是平移，不是旋轉。大家一時都愣住了，教師的應變對策是讓學生小組討論。這下熱鬧了，有的同意，認為人的方向沒變；有的反對，理由是人在轉圈。直到下課，都沒有搞清楚是平移，是旋轉，還是兩者都不是。課后，前來觀摩的教師也都議論紛紛，多數認為坐在摩天輪上的人與座艙的運動不是平移，也有少數認為是平移的。那么是不是旋轉呢？同樣有兩種意見，莫衷一是。由此可見教師自身搞清楚概念是十分必要的。

這里，把最主要的概念與性質盡可能以淺顯的方式描述如下。

1.什么是變換？變換是近代數學中的重要基本概念之一。一般地說，所謂變換是指某個集合中符合一定要求的一種對應規律。就圖形的變換來講，因為幾何圖形都是點的集合，所以圖形變換可以通過點的變換來實現。

如果一個平面圖形的每一個點，都對應于該平面內某個新圖形的一個點，并且新圖形中的每一個點只對應于原圖形中的一個點，這樣的對應就叫做變換。

幾何變換中最重要的是全等變換與相似變換。能夠保持圖形的形狀和大小不變的變換就是全等變換。在全等變換中，原圖形任何兩點之間的距離，都等于新圖形中兩對應點之間的距離，所以又稱為保距變換。能夠保持圖形的形狀不變，而只改變圖形大小的變換就是相似變換。在相似變換中，原圖形中所有角的大小都保持不變，所以又稱為保角變換。

在小學數學中主要引進了平移變換、旋轉變換和軸對稱變換，這三種變換都是全等變換。相似變換只是在第二學段中有所滲透，如學習比例尺時兩個圖形按比例放大或縮小，實際上就是一種相似變換。

2.什么是平移變換、旋轉變換和軸對稱變換？先說平移與旋轉。如果原圖形中任意一個點到新圖形中相對應點的連線，方向相同，長度相等，這樣的全等變換稱為平移變換，簡稱平移。也就是說，平移的基本特征是，圖形移動前后“每一點與它對應點之間的連線互相平行（或者重合），并且相等”。顯然，確定平移變換需要兩個要素：一是方向，二是距離。

如果新圖形中的每個點都是由原圖形中的一個點繞著一個固定點（叫做旋轉中心）轉動相等角度得到的，這樣的全等變換稱為旋轉變換，簡稱旋轉。也就是說，旋轉的基本特征是，圖形旋轉前后“對應點到旋轉中心的距離相等，并且各組對應點與旋轉中心連線的夾角都等于旋轉的角度”。顯然，確定旋轉變換需要三個要素：旋轉中心、旋轉方向與旋轉角度。

現在我們可以回答摩天輪座艙里的人是否在平移或旋轉的問題了。

摩天輪在旋轉，但上面的座艙及里面的人始終頭朝上，腳朝下，是不是在平移呢？我們可以依據平移的基本特征，畫出運動過程中任意兩個位置上座艙上下部中點的連線（如圖1），它們平行并且相等，所以是平移。

那么座艙及里面的人是否在旋轉呢？依據旋轉的基本特征，畫出座艙下部中點與摩天輪旋轉中心的連線（如圖2），它們的長明顯不相等。

明明摩天輪在旋轉，而座艙與里面的人卻不是在旋轉，是在平移，這是怎么回事呢？原來，摩天輪在帶動座艙順時針旋轉的同時，地球的引力使得掛在吊鉤上的座艙也在逆時針細微地轉動，從而使座艙與里面的人始終保持向上的方向，并且座艙與人上的每個點都移動相同的距離。其實，數學中所說的旋轉、平移，主要考察運動開始、終止狀態下兩個靜止圖形對應點之間的關系，它與物理學中研究物體“轉動”、“平動”的側重點有所不同。

再說對稱。對稱是一個許多學科都在使用的名詞，在數學中它占有相當重要的地位。與對稱有關的概念如對稱多項式、對稱空間、對稱原理等，都是數學中比較重要的概念。小學數學所討論的，僅限于圖形的對稱，而且僅指平面圖形關于一條直線的對稱。至于圖形的其他形形色色的對稱，如旋轉對稱及其特例中心對稱等，都不在我們討論的范圍之內。但是當學生提到這類現象時，如平行四邊形（中心對稱）、電扇葉片（旋轉對稱）等，教師不應斷然否定它們的對稱性，只要指出它們不是軸對稱圖形就行了。

如果連接新圖形與原圖形中每一組對應點的線段都和同一條直線垂直且被該直線平分，這樣的全等變換稱為軸對稱變換，每組對應點互為對稱點，垂直平分對稱點所連線段的直線叫做對稱軸。也就是說，軸對稱的基本特征是，“連接任意一組對應點的線段都被對稱軸垂直平分”。顯然，確定軸對稱變換的關鍵在于找到對稱軸。

構成軸對稱的圖形可以是一個，通常就叫做軸對稱圖形（如圖3）；也可以是兩個，通常叫做這兩個圖形關于某條直線對稱（如圖4）。

成軸對稱的兩個圖形，任何一個都可以看作是由另一個圖形經過軸對稱變換后得到的。一個軸對稱圖形，也可以看作以它的一半為基礎，經過軸對稱變換而成的。

我們也可以用更通俗的語言，對軸對稱圖形做出直觀的描述：將一個圖形對折，如果折痕兩邊的圖形完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，折痕（所在直線）叫做對稱軸。當然這種描述偏重于圖形性質的刻畫，運動變換觀點的滲透就不那么突出了。

在數學中，為了刻畫平移的方向與距離，通常采用有向線段或向量，并放在特定的坐標系內討論。為了刻畫旋轉的要素，最簡捷的方式就是采用極坐標。因為圖形的變換作為點與點之間的一種對應，要精確刻畫它是離不開坐標系的。就是把圖形的變換看作一種運動，同樣需要參照系。事實上，過去一直把平移與旋轉放在解析幾何里討論，主要就是這個原因。在小學數學中，討論平移和旋轉時經常利用方格紙，也是這個道理。

3.平移變換、旋轉變換與軸對稱變換有什么聯系？前面，我們在描述三種全等變換時，特別強調它們各自的基本特征，以便于正確識別和區分。那么，這三種全等變換又有什么聯系呢？

首先這三種變換都能保持圖形的形狀、大小不發生變化，這是它們最主要的共同點。其次，如果連續進行兩次軸對稱變換，在一般情況下：（1）當兩條對稱軸平行時，那么這兩次軸對稱變換的最后結果相當于一次平移變換，平移的方向與對稱軸垂直，平移的距離為兩條對稱軸之間距離的2倍。簡略地說，兩次翻折（對稱軸互相平行）相當于一次平移。（2）當兩條對稱軸相交時，那么這兩次軸對稱變換的最后結果相當于一次旋轉變換，旋轉中心為對稱軸交點，旋轉角度為兩條對稱軸夾角的2倍。簡略地說，兩次翻折（對稱軸相交）相當于一次旋轉。

上面兩條結論是針對圖形的一般情況來說的。有些特殊的圖形，也可能只經過一次軸對稱變換，就能達到平移或旋轉的效果。例如圖5中“帶煙囪的房子”經過兩次軸對稱變換（對稱軸平行，且相距4格），相當于一次向右平移8格。圖6中“沒有煙囪的房子”只要經過一次軸對稱變換就相當于平移了。

此外，上面兩條結論反過來同樣成立。即一次平移變換可以由兩次軸對稱變換（對稱軸互相平行）代替；一次旋轉變換，也可以由兩次軸對稱變換（對稱軸相交）替換。它們的運動方式不同，但效果相同。

在小學數學教材中，有些圖案可以用不同的變換來生成。例如圖7的四葉圖案，其中的每一片葉，既可以由相鄰的那片葉經過軸對稱變換得到，也可以由相鄰的葉片旋轉90°得到，或者由同一直線上的那片葉經過平移得到。

認識三種全等變換之間的聯系，也有助于我們理解在數學中，研究圖形變換的關注點，主要在于變換前后圖形的相對位置關系及其對應點的關系。

三、目標的把握

考慮到認識不能一次完成，往往需要多次反復，逐步加深理解，所以在《數學課程標準》（實驗稿）中，與其他內容一樣，圖形與變換的具體目標也是分兩個學段陳述的。

第一學段：（1）結合實例，感知平移、旋轉、對稱現象。（2）能在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形。（3）通過觀察、操作，認識軸對稱圖形，并能在方格紙上畫出簡單圖形的軸對稱圖形。

第二學段：（1）用折紙等方法確定軸對稱圖形的對稱軸，能在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形。（2）能利用方格紙等形式按一定比例將簡單圖形放大或縮小，體會圖形的相似。（3）通過觀察實例，認識圖形的平移與旋轉，能在方格紙上將簡單圖形平移或旋轉90°。（4）欣賞生活中的圖案，靈活運用平移、對稱和旋轉在方格紙上設計圖案。

顯然，無論是第一學段，還是第二學段，都不要求對三種變換做出一般化的描述，更不要求給出定義。

從整體上看，整個小學階段都只是初步認識圖形的變換，上面摘錄的這些具體目標可概括為：積累感性認識，形成初步表象，其外顯的表現就是“能識別”，“會畫圖”。離定性地認識、定量地研究還有一定距離。

因此，學習的主要方式是結合實例，通過觀察與動手操作，如折紙、畫圖等活動來進行，而且還規定了畫圖的行為條件“在方格紙上”。如前所述，這是數學的需要（提供參照系），自然也是降低學習難度的需要。

仔細分析不難看出，兩個階段的學習目標，呈現螺旋上升式的遞進。第一學段從感知實際生活中的圖形變換現象開始，學習特殊方向的平移，以及直觀地認識軸對稱圖形。第二學段對平移、旋轉、軸對稱要求略有提高。主要是增加了90°的旋轉，確定軸對稱圖形的對稱軸，并能運用所學知識設計圖案，同時還要求初步體會圖形的相似。

兩個階段學習目標的遞進又是細微的，有些光靠課程目標簡練語言的描述還顯不夠。以畫軸對稱圖形為例，第一學段“畫出簡單圖形的軸對稱圖形”與第二學段“畫出一個圖形的軸對稱圖形”有什么區別呢？考慮到小學以認識軸對稱圖形為主，關于直線對稱的兩個圖形可以出現，但一般不要求學生畫。所以，可以理解為，前者要求畫出的圖形比較簡單，后者可以是一個有所組合的圖形。

更進一步的目標，就是靈活運用平移、對稱和旋轉在方格紙上設計圖案。實現這一目標需要學生綜合運用有關的知識，還需要學生具有一定的創造力和想象力。但由于設計圖案的過程是開放的，不同的學生可以有不同的設計，不同的表現。因此這又是一個具有彈性的目標，能夠體現學生學習與個性差異的目標。

四、教材的梳理

1.對稱現象和軸對稱圖形的感知。過去的小學數學教材，盡管也有軸對稱圖形，但一般安排在高年級出現，并局限于軸對稱圖形的認識。現在則加強了觀察生活中的對稱現象以及畫軸對稱圖形的內容。有的教材還增加了初步感知鏡面對稱的內容，使對稱現象的認識，從一開始就顯得更加豐富、充實。

在第一學段，為使學生初步感知對稱現象和軸對稱圖形，從而能以新的視角去觀察物體，研究圖形，體驗它們的對稱美。教材一般都會給出各種生活中常見的對稱物體，讓學生觀察，引導學生從對稱的視角去重新認識平時經常看到的物體。然后再通過折紙、剪紙等活動，引出軸對稱圖形。這里，有的教材由折痕引出“對稱軸”的概念，但不出軸對稱圖形的概念（如人教版二年級上冊中的有關內容），也有的教材兩個名詞都出現（如北師大版三年級下冊的有關內容）。

各套教材的共同點就是提供了現實生活中比較常見的一些物體、一些圖形、一些交通標志，以及英語字母，或者一些國家的國旗，讓學生觀察、判斷。提供這些素材的意圖，一是激發學生的學習興趣，體驗軸對稱圖形的多樣性及其應用的廣泛性，只要注意觀察，經常能看到；二是通過一些交通標志或一些國家的國旗，豐富學生的社會知識；三是讓學生體會對稱美，體會生活中為什么會有大量的對稱物體、對稱圖案，培養對數學的情感。顯然，從一開始就落實教材的這些編寫意圖，不但能使圖形變換內容的教學有一個良好的開端，對數學其他內容的學習，也是一種促進。

鏡面對稱同樣是日常生活中的常見現象。在兒童生活里（如照鏡子），在童話故事里（如猴子撈月亮），在大自然里（如湖面的倒影），甚至在語文課文里（如水平如鏡），都不乏這種現象的實例。這方面的很多實例還很容易引起學生的興趣和探究的欲望。因此，在第一學段就引入鏡面對稱，具有一定的認知基礎。然而，鏡面對稱與軸對稱既有聯系又有區別。它們的聯系在于兩者都改變圖形的方向，如左右互換。區別在于鏡面對稱嚴格地說是一種物體或圖形關于某個平面的對稱，而不是關于一條直線的對稱。上面提到的照鏡子，是相對于豎直平面的對稱；水面倒影是相對于水平面的對稱，這是兩種特殊的也是最常見的鏡面對稱。如果在紙上畫一個圖形，旁邊豎一面鏡子，則隨著鏡子擺放位置、角度的變化，圖形（鏡面對稱的“像”）的變化非常多樣，對學生來說可謂變幻莫測。所以，一般只是讓學生在照鏡子的活動中，通過比較鏡子內外人與像的位置關系，初步感受鏡面對稱的特點。至于“鏡面對稱”“平面對稱”等名詞以及鏡面對稱的性質，教材通常都不會涉及。

2.軸對稱圖形的初步認識。第二學段關于軸對稱圖形的初步認識，主要內容一是從折紙或觀察入手，找到并畫出一個圖形的對稱軸。二是借助方格紙觀察并發現軸對稱圖形的特征，如對應點到對稱軸的距離相等進而根據這個特征，學習在方格紙上畫出軸對稱圖形的另一半。也就是先根據對應點到對稱軸的距離，確定圖形另一半的頂點，再把軸對稱圖形畫完整。顯然，畫出軸對稱圖形的關鍵，在于掌握對應點的規律。所以，下面兩道例題，具有緊密的內在聯系。

容易看出，例1是例2的基礎，例2所要畫的圖形，實際上是一個組合圖形，比第一學段的簡單圖形稍復雜一些。

3.平移、旋轉現象的感知。平移和旋轉都是學生在日常生活中經常看到的現象。所以第一學段的教材在首次介紹這兩種現象時，都會注意結合學生的生活經驗，列舉學生比較熟悉的一些事物，如火車車廂、電梯間的運動和螺旋槳、鐘擺的運動等喚起學生的聯想，使他們重新審視生活里的某些常見現象，哪些是平移，哪些是旋轉。在結合實例初步感知平移和旋轉的基礎上，體會它們的不同特點，進而學習在方格紙上把簡單的圖形沿水平方向或豎直方向平移幾格，這就達到了本學段的學習目標。

這部分教材的特點是，既不給平移和旋轉下定義，也不用語言描述，只要求學生獲得物體平移、旋轉的感性認識，初步體會生活中的平移現象和旋轉現象是很普遍的。

為了提高學生的學習興趣，讓學生在玩中獲得感悟，有的教材還運用運動變化原理設計了一些新穎、有趣的“學具”。例如，下面的“拉一拉”、“轉一轉”，巧妙地蘊涵了平移、旋轉的特點。

平移、旋轉的初步認識。第二學段的教材中，有關平移的初步認識大多沒有多少新的內容。因為依據課程標準，學生在第一學段已經學習了利用方格紙沿水平方向或豎直方向平移簡單圖形。考慮到小學生的知識基礎，第二學段在方格紙上平移圖形也只能沿這兩個方向，至多把兩個方向的平移綜合起來。如先向下平移2格，再向右平移3格，等等。學生有了平移的初步認識，再來學習畫平行線就比較方便了。所以，有的教材還安排了引導學生用平移方法畫平行線的內容。這樣安排，可以發揮學習的正遷移作用。

第二學段有關旋轉的初步認識，除了繼續聯系現實情境讓學生進一步體驗圖形旋轉的特點之外，主要就是學習在方格紙上將圖形旋轉90°。通常，教材的編排是先通過實際情境使學生認識順時針旋轉和逆時針旋轉，然后教學怎樣在方格紙上把一個簡單的圖形旋轉90°，讓學生在動手畫圖的過程中體驗旋轉的方法。

最后，各套教材都會安排的一個課題，就是欣賞與設計圖案。通常先讓學生欣賞一些漂亮的圖案，并思考圖案的形成，即這些圖案是經過怎樣的平移、旋轉或翻轉得到的，然后啟發學生嘗試用平移、旋轉或軸對稱的方法做出一些簡單的圖案。在此基礎上，放手讓學生靈活應用對稱、平移和旋轉自己設計、制作圖案。教學實踐表明，這是一個數學應用與審美、手工融為一體的學習課題，也是一個能夠將培養學生的創新精神與實踐能力結合起來的載體。在小學數學學科中，這樣的有效載體是為數不多的，應當充分用好。

五、教學的策略

1.注意選取生活中較為典型的例子，讓學生感知對稱、平移、旋轉現象。新一輪課改，數學學科的主要改革趨勢之一就是加強數學與兒童生活的聯系，關注數學的抽象與數學的應用。因此，教學圖形變換時，大家都想到了聯系現實生活，由觀察實例切入教學。

這一教學策略，符合兒童的思維特點和這部分內容的教學定位。兒童思維的特點即年齡特征，主要反映在他們的抽象思維需要具體形象思維與生活經驗給予支撐，對感知圖形變換這樣的抽象概念來說尤其需要。相應地，小學階段關于圖形變換的教學定位，在于積累感性體驗，形成初步認識。因此，結合實例展開教學，是一條相當重要的教學策略，很多教師已經積累了一定的經驗。

從近幾年的教學實踐來看，還需要注意實例選取與活動設計的典型性。以平移和旋轉為例，生活中有許多物體的運動可以看作平移或旋轉。學生在生活中也或多或少接觸過平移、旋轉現象，這是他們已有的認識基礎。但是，生活中的平移或旋轉現象，并不都是數學意義上的平移或旋轉。如果選來讓學生觀察的例子不夠典型，就容易屏蔽概念的本質，有時還可能產生歧義，對學生形成正確表象不利。

現來分析下面三種不同的教學活動設計。

活動一：請學生表演健美操的走步與轉身動作，作為平移、旋轉的觀察例子，一人表演，眾人觀察。

活動二：讓學生自己用各種動作表示平移、旋轉，同桌互相表演，再全班交流。

活動三：讓學生用鉛筆頭表示交通工具在方格紙上平移或旋轉。

教學實踐表明，三種活動都富有童趣，都能激起學生的學習熱情，后兩種活動還做到了人人參與。差異表現在：

實施活動一時，學生對健美操走步時的跳躍現象產生了質疑。爭論后形成的共識是走步才是平移，但實質上跳躍與走步在這里并沒有本質上的區別。

實施活動二時，學生大多數能夠自覺區分移動與轉動，但平移與旋轉的要素顯示不明顯，甚至似是而非，如不少學生以為旋轉就是轉圈。

實施活動三時，平移與旋轉的要點反映得比較清楚。特別是旋轉，經過討論，學生在教師指點下能夠以三種不同的旋轉中心（鉛筆尖、鉛筆尾與鉛筆中點）進行旋轉。

因此，從盡可能地接近數學概念的本質來看，活動三更具有數學的典型意義，它有利于避開干擾，把學生的注意力集中到平移與旋轉變換的數學意義上來。

同樣，當采用圖片來揭示平移、旋轉時，也應該盡可能地關注實例的典型性。例如，右邊的兩幅插圖作為旋轉實例時，看似相同，實際上卻是有區別的。轉動老式的水龍頭（如圖13），其運動是旋轉與平移的合成。只要打開水龍頭，就能發現一圈圈的螺紋（螺旋線）。而新式的水龍頭是轉動閥門，更接近于單純的旋轉。雖說小學生一般發現不了旋轉與螺旋的區別，但為了確保教學的科學性，避免給進一步學習造成誤導，還是盡可能注意為好。

此外，還有必要因地制宜選擇一些當地特有的平移、旋轉現象作為補充的實例，使之更貼近本校學生生活中的所見所聞。農村地區的教師，尤其應當關注這一點。因為目前教材中的實例，大多取材于城市兒童的生活，較少反映農村的事物。

2.注意適當簡化、抽象對稱、平移、旋轉的實例，引導學生感悟它們的數學意義。在讓學生觀察生活中的對稱、平移、旋轉現象時，要注意引導他們對觀察對象加以適當的簡化、抽象，忽略一些無關緊要的細節，著重從圖形變換的角度去觀察、去思考。

例如，觀察對稱現象時，常常使用天安門、蝴蝶等照片。就實物而言，它們除了關于直線的對稱，還有其他的對稱。因此，有必要把它們簡化、抽象成圖案（平面圖形）再來對折、研究。這樣既有助利于學生感知軸對稱圖形的特點，也有利于培養學生的數學抽象概括能力。其實，對事物的簡化與抽象也是數學建模的第一步，它與數學課改所強調的適度非形式化，是不矛盾的。

類似地，學生觀察生活中的平移、旋轉現象時，應當引導他們著眼于整體，不被一些細節所糾纏。例如，火車在一段筆直的軌道上行駛，舍去車輪滾動的細節，只看火車車廂的運動，就可以看作平移。又如前面討論的摩天輪的運動，如果不去考慮座艙，或者把座艙看成一個點，那么毫無疑義摩天輪在旋轉。可見，舍去一些與研究主題無關的非本質屬性，既是一種能力的培養，也是一種避免無謂糾纏的教學策略。

作為教師還應當理解，物體的運動，可以從物理學的角度去觀察，考慮它的速度、加速度和位移；也可以從數學的角度去觀察，研究運動前后物體的形狀、大小有沒有改變，位置關系發生了什么變化。數學與物理有著許多天然的聯系，如前面分析的摩天輪座艙的運動，在物理學中稱為“平動”。但數學與物理畢竟是兩個不同的研究領域。在小學數學課堂上，雖然不必引導學生去區分物理運動與數學變換，但應當有意識地、不露痕跡地引導學生透過物理運動的現象去觀察、研究它的數學意義。從目前的教學實踐來看，較為普通的現象是討論來討論去，只涉及物體的運動，卻只字不提運動前后物體的形狀、大小不變，這是有失偏頗的。如前所述，平移與旋轉都是全等變換，它們共同的實質就是不改變圖形的形狀與大小。這一特征，只要教師稍加提醒，一般學生都能感悟，因為這是非常明顯的事實。

3.借助操作活動幫助學生形成初步的表象。加強學生的操作活動，也是提高圖形變換教學成效的一條重要策略。首先，這一教學策略迎合了小學生好動的年齡特征，把“好動”引導到數學學習上來。其次，它又切合了教學內容的特點，因為小學生主要是從運動角度去認識平移與旋轉的。此外，它還體現了“做中學”的課改理念。

教學中除了用好教材提供的一系列活動，如折紙、剪紙，拉一拉、轉一轉、拼一拼等等之外，教師還可以根據學生的特點，自行設計一些活動。例如，讓學生用橡皮表示小烏龜，在課桌上按指令移動，體驗平移的特點。又如，讓學生站立并伸直右臂，向左轉、向右轉，獲得逆時針旋轉90度、順時針旋轉90度的切身感受。再比如，讓學生親自照鏡子，通過觀察鏡子內外人的位置的關系感悟鏡面對稱的特點。知道照鏡子時，鏡子內外的人上下、前后位置不會發生改變，而左右位置發生了對換。

4.指導學生探索在方格紙上畫軸對稱圖形，或平移、旋轉一個圖形的方法。在方格紙上畫圖，是一種特殊的操作活動，它在圖形變換初步認識的教學過程中，具有不可或缺的作用。因為學會畫圖是學生必須達成的學習目標，同時它又是反映學生是否理解有關概念，掌握有關特征的表現形式與檢測手段。

在方格紙上畫出一個圖形的另一半，使它成為一個軸對稱圖形，對小學生來說是初學時的一個難點。它不同于剪紙，只要對折剪，剪出來的圖形必定成軸對稱。它要求學生根據圖形已知的一半來確定另一半，一些學生會感到困難。

教學時，可以先讓學生觀察方格紙上的軸對稱圖形，分析每一組對應點與對稱軸的關系。找出規律之后，再讓學生獨立嘗試把圖畫完整。觀察表明，有些學生能依據對應點的規律來畫，有的則根據圖形的對稱性，試圖一筆一筆畫出來。在畫的過程中，有的能夠發現，關鍵是確定每一筆的兩個端點，也會有學生只顧畫而忘了思考。課堂上可以通過同學間的交流，讓他們自己總結畫軸對稱圖形的經驗，得出較為合理的步驟：先定頂點→ 再連線成形。也就是先在方格紙上確定圖形另一半各頂點的位置，再依次畫出線段連接各點。

學生基礎較好的班級，也可以先放手讓學生獨立嘗試畫出圖形的另一半。然后在交流畫圖經驗、體會的過程中，引導學生說出每一組對應的點與對稱軸之間的關系，總結出規律性的認識。

學習在方格紙上畫平移后的圖形時，平移的方向一般學生都比較容易掌握，平移的距離則常有學生出錯。針對這一難點，可以通過比較讓學生理解平移幾格的含義。如圖16，三角形平向右移了3格、還是平移了7格？通過辨析，使學生明確，平移了幾格不是看兩個圖形之間空了幾格，而是看對應點或對應線段移動了幾格。

也有教師采用了創設情境，激趣設疑的方法展開教學。

師：這是一條小船（如圖17），船頭停著一只紅鳥，船尾停著一只藍鳥。小船開動了，它是在作什么運動？

生齊答：平移。

師：對，是平移。這時兩只鳥發生了爭吵，紅鳥說我在船頭，我經過的路長一點。藍鳥說，不對，不對，我在船尾，我經過的路比你長。請同學們討論一下，兩只小鳥說的對嗎？怎樣才能說服它們停止爭吵。

討論后進行了交流。

生1：兩只鳥經過的路一樣長。我可以數給小鳥看，紅鳥移動了8格，藍鳥也移動了8格。

生2：我可以告訴小鳥，船頭平移了8格，船尾也平移了8格，所以它們經過的路一樣長。

師：如果小鳥停在船上的其他地方，平移了幾格呢？

生3：也是8格。

師：請同桌兩人互相點一點，假設小鳥停在那里，數一數，平移了幾格。

……

最后，師生共同總結出：平移時，圖形上每個點移動的格子數都相同。

在此基礎上，畫出平移后的圖形就比較容易了。可以讓學生自己嘗試，然后交流總結：先按要求平移圖形的各個頂點，再連線成形。

第二學段，教學在方格紙上畫旋轉90°的圖形時，可以先讓學生用學具，比如三角形，放在方格紙上，按要求轉一轉，再畫下來（如圖18）。然后討論三角形上的兩條邊轉動了哪里，由此逐步引出畫圖步驟（如圖19）。

之所以先“轉”再“畫”，是由于動手旋轉學具比畫圖容易。學生通過操作，看清楚了旋轉后圖形的位置，再來討論怎樣畫，就比較容易找到畫圖的方法。

5.引導學生驗證關于軸對稱圖形的直觀判斷。讓小學生從一組平面圖形或圖案中找出軸對稱圖形時，他們基本上都是憑借直觀作出判斷。這當然是允許的，因為有概念依據的直觀判斷能力應該加以培養。盡管如此，還是有必要引導學生對自己的判斷做出驗證。為了便于學生驗證，教師課前應做好充分準備，把一些容易引起爭議的圖形或圖案畫在紙上剪下來備用。

驗證時，學生可以采用折紙的方法，也可以采用拿尺量的方法，看看對應點到對稱軸的距離是否相等。這樣的驗證過程，有利于學生從不同角度體會軸對稱圖形的特征，也有利于把學生的思維逐步引向深入。

學生陳述自己的驗證結果時，教師不必強求他們合乎邏輯地說明驗證的過程，但應注意傾聽，及時糾正他們不合邏輯的地方，使學生初步感受數學的嚴謹性。比如，可以憑一組對應點到對稱軸的距離不相等，判定這個圖形不是軸對稱圖形；但不能只憑一組對應點到對稱軸的距離相等，就判定這個圖形是軸對稱圖形。又如，只要找到一條對稱軸就能確定這是一個軸對稱圖形，但不能因為對折一次兩邊不重合，就斷定它不是軸對稱圖形，應該多進行幾次不同的對折，確信不存在對稱軸了，再做出結論。

6.準確把握教學目標。圖形的變換，從概念到性質，再到應用，內容本身有很大的發展空間。因此，教師必須注意把握教學目標的適切性。

前面，把這部分內容的學習目標，從可操作、可測量的角度概括為兩個外顯的學習行為“能識別”與“會畫圖”。這里“能識別”的范圍，是指簡單的軸對稱圖形和典型的、常見的平移、旋轉現象；“會畫圖”的限制條件，一是利用方格紙，二是簡單的圖形，三是兩個特殊方向上的平移和90°的旋轉。控制在這樣的范圍內，一般學生經過努力都能達到要求。

更具體地，教師在確定各課時的教學目標時，除了依據課程標準，從整體上把握教學目標的“度”之外，還應參照課本、參照教學參考書中的單元教學目標，準確把握本學段的教學重點，并從學生的實際情況出發，把教學目標定在學生的最近發展區內。否則，容易加重學生的學習負擔，欲速而不達。（作者單位：上海市靜安區教育學院）