透過現象看數學概念的本質

“周期現象”是北師大版高中數學（必修4）第一章“三角函數”中的教學內容，它對整章起著提綱挈領的作用。宋慶老師教學這節課時，以“生活—數學—生活”為主線，以“感受周期現象、從數學角度研究周期現象、解決簡單的實際問題”為核心，以構思巧妙的導入、環環相扣的層層設問、精心的首尾呼應和風趣精練的語言，使得學生深刻地理解了周期現象的概念內涵。

【片段一】巧妙導入——引入周期現象

師：你去過錢塘江嗎？你去過錢塘江觀潮嗎？如果你沒去過的話，那么請看錄像！（視頻《錢塘江潮汐》播放。學生被視頻中的錢塘江潮汐的宏大氣勢所吸引，表現出極大的興趣）我們剛剛領略了錢塘江的美，潮漲潮落間（教師用手勢模擬，學生觀察）有著一種什么規律？

生：好像在不斷地重復！（學生們若有所悟）

師：非常好！現在我們就來探尋一下大自然的這個奧秘吧！

【賞析】宋老師借助多媒體技術創造性地開發教材，從一個自然現象引入，將抽象的周期問題變得直觀，使數學課堂變得生動有趣。錢塘江潮漲潮落間的美是學生興趣的生長點，也是深化知識的催化劑。“不斷地重復”這一特點的發現，為進一步感受周期現象作了很好的鋪墊。

【片段二】提煉新知——感受周期現象

（依次演示課件：潮汐現象、時鐘擺動、天體運行、股市圖）

師：你能發現以上現象的共同點和不同點嗎？

生：好像有些現象是不斷重復出現，有些又不是。

師：不錯！那么哪些現象是不斷重復出現，哪些又不是呢？

生：錢塘江波浪、時鐘擺動、天體運行每隔一段時間事件重復出現；股市圖好像不是重復出現。

師：完全正確！咱們現在把這種每隔一段時間重復出現的現象取一個新的名字……

生：（齊聲搶答）：周期現象！

（課件展示主題：周期現象）

師：非常好！那么周期現象非得要隔一段時間重復出現嗎？這樣的重復出現可以不以時間為間隔嗎？（同學們陷入沉思）我們來看看這個數：0.121212121212…

生：哦，也在不斷重復，是周期現象！（學生們爭先恐后地回答，表現得很激動）

師：這個周期現象是隔一段時間重復出現嗎？

生：不是！從小數點開始每隔兩個位數不斷重復出現12。

師：對！同學們好眼力啊！那么我們現在來定義一下周期現象。以一定規律重復出現的現象叫周期現象。（課件演示）剛才的潮汐現象的演示中的函數圖像有什么特點？

生（齊聲回答）：圖像也在重復出現！

師：是周期現象嗎？（學生齊聲回答：是！）很好！生活中還有哪些周期現象？

生1：每天上課！

師：以每天7：30早讀開始一天的學習，的確是個周期現象！不錯！

生2：每個星期是每隔7天重復出現！

生3：123123123…（激動，似乎意猶未盡）

師：真不錯！看來大家都有一雙敏銳的眼睛啊，對周期現象的要點（重復出現）也把握得很好！生活中的周期現象還真不少，四季更替、星期問題、交通燈、學校每周一升旗、月考、高考等都是周期現象！

師：好，我們現在從生活中的周期現象抽象出來，能不能用數學的眼光去看它們呢？……

【賞析】通過對多個生活現象的直觀感受，培養學生分辨知識、提煉知識的能力，在層層遞進的問題中歸納出周期現象的本質。由生活現象中發現的“隔一段時間重復”的特點，對周期現象的認識產生質的飛躍，加以聯想到數學中的規律，最終提煉出周期現象的精確定義。這種富有趣味性、知識性的精彩演繹，非常切合學生的認知心理，同時培養了學生積極思考的習慣。從生活到數學的完美過渡，體現了數學來源于生活且高于生活的特性。

【片段三】從數學角度研究周期現象

師：聯系必修1的知識，如何從數學角度研究一個生活中的問題呢？（生：數學建模)同學們還記得數學建模研究的流程嗎？

生：第一步：收集數據；第二步：畫出散點圖；第三步：分析散點圖特征，建立函數模型。

師：非常棒！那我們現在開始一起用建模的思想研究潮汐現象。（引導學生一起完成：收集數據—畫出散點圖—分析散點圖特征）發現什么規律？

生：每經過12 h，水深的值重復出現。

師：很好！看來同學們有點感覺了，不過現在有一個疑問，我們從散點圖上發現三個點：A（2，6.2）、B（5，6.2）、C（14，6.2）（課件演示），它們對應的水深都是6.2，從A到B點只經過了3 h就出現了一次水深的重復，跟大家分析的“每經過12 h，水深的值重復出現”矛盾嗎？（學生陷入沉思，表情疑惑）我們一起來從整體再觀察一下散點圖，從整體變化的趨勢看，A點與 B點時的水深是重復出現嗎？

生：不是！A點與 C點在趨勢上完全一致，水深重復出現。

師：所以我們研究周期現象是應該看瞬間的情況，還是從整體趨勢看？（整體看）對！一個現象發生可能要經過一定的階段，那么我們分析周期現象的時候一定要從整個現象發生的過程著手！依照剛才的分析，得出結論：“每經過12 h，水深的值重復出現。”再從函數的角度分析，以時間t為自變量，水深H（m）為因變量，構造函數H（t）。依據剛才的分析，能得出怎樣的結論呢？

生：H（t+12）=H（t）。

師：再提煉，將函數一般化，又得到什么結論？（生：H（t+T）=H（t））很好，我們得出結論：每經過相同的時間T（12 h），水深就重復出現相同的數值，即H（t+T）=H（t），水深基本上隨時間呈周期性變化。再推廣到一般函數，如果函數y=f（x）為周期函數，存在不為0的常數T，那么定義域內的任意一個x，都滿足什么結論？

生：f（x+T）=f（x）。

師：真是太棒了！如果存在不為0的實數T，使得定義域內的任意一個x，函數y=f（x）都滿足f（x+T）= f（x），則稱函數y=f（x）為周期函數，T叫做這個函數的周期。

【賞析】宋老師用 “如何從數學角度研究一個生活中的問題？”這個問題激發學生聯系已學的數學建模的方法來分析周期現象，并由此強化實際問題數學化的一般方法。三角函數的重心是它的周期性，“周期現象”這一節作為全章起始課，內容雖然簡單，但對整章的學習起著至關重要的作用。宋老師在教學中適時地、恰如其分地將周期現象過渡到周期函數，既豐富了這節課的教學內容，更是對本節課的一個提升，為全章的學習作了很好的鋪墊。

【片段四】回歸生活——用數學解決實際問題

例1：鐘擺問題1（《學案》中的問題探究）

師：從《學案》中的表格中，你能發現什么規律嗎？

生：每隔1秒鐘，y的值重復出現。

師：對，這是一個周期現象嗎？周期是多少呢？

生：11.10分鐘就是666秒鐘，周期是2秒，666秒就有333個周期，所以鐘擺剛好回到了原來最初的平衡位置C處。

師：很好，解題的關鍵是什么？

生：關鍵是找到所問時間和周期的倍數關系，然后去除周期的整數倍再分析！

師：回答得太好了！（課堂上響起熱烈的掌聲，同學們很激動）大家把這個周期現象分析得太漂亮了！回顧整個過程，要分析一個周期現象，需要分析所有過程嗎？

生：不需要，只要分析一個周期內的情況就行了！

師：好！這正是從“一個周期”到“所有情況”，從“有限”到“無限”的過程啊！數學研究真是太有意義了！我們不難找出用周期性解決簡單的實際問題的一般步驟就是：（1）判斷是否為周期現象；（2）找T的值，分析一個周期內的情況；（3）最后解決問題(找到周期的整數倍) （與學生一起完成，并用課件顯示提煉結果）

【賞析】以學案中的鐘擺問題為例，提煉出用周期性解決簡單實際問題的一般步驟。鐘擺問題這一例子由教材中習題改編，又在前述的生活現象中分析過，學生對它已有了一定的認識，故學生在進一步分析提煉知識時表現得很有信心。例題的精心選擇，體現了宋老師在細微之處的獨具匠心。

【片段五】首尾呼應——小結周期現象

師：現在我們再回頭看開頭的錢塘江漲潮問題：（課件演示）（1）請估計一下H（4.5）的值，不看散點圖，預測當t=16.5時，求H(t)的值；（2）在早上4：00~9：00之間，估計t取何值時， H(t)=3.6；（3）如果你是一名游客，應該選擇何時觀潮？

生：（1）H（16.5）=H（4.5）≈6.8；（2）估計t≈7.5時，H(t)=3.6；（3）選擇早上三點或者下午三點漲潮最高最漂亮的時候觀潮！

師：回答得很好！我們一起來回顧一下整節課探索研究過程吧！（開始小結）

【賞析】課堂小結時，宋老師沒有馬上對本節課作總結，而是將學生帶回到課堂開始的案例——錢塘江問題，首尾呼應。整堂課圍繞從生活中提煉數學、用數學分析實際生活問題這個“生活—數學—生活”的教學主線，讓學生透過周期現象看到了數學概念的本質。(作者單位：廣東省東莞市華僑中學)■

□責任編輯 周瑜芽

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