例談 “不等式選講 ”的復習

●李惟峰 (杭州外國語學校 浙江杭州 310023)

例談 “不等式選講 ”的復習

●李惟峰 (杭州外國語學校 浙江杭州 310023)

不等式選講知識是浙江省高考自選模塊測試卷中考查的內容,筆者就這一模塊的復習談一點自己的想法,僅供參考.

1 考試要求

本專題內容包括:不等式的基本性質、含絕對值不等式的求解、不等式的證明(比較法,分析法和綜合法)和幾個著名的不等式(均值不等式、柯西不等式和排序不等式),運用數學歸納法證明不等式.要求學生了解不等式及其證明的幾何意義與背景,加深對這些不等式數學本質的理解,且以考查學生的推理論證能力為主.

2 考點回顧

在近 2年的高考試題中,重點考查了柯西不等式、均值不等式和絕對值不等式的解法,屬于中檔題.對學生而言,一旦選擇了此題,必須會做而且要做對.因此在復習過程中,要注重基本知識、基本模型和基本方法.

3 典例剖析

此小題也可以利用絕對值的幾何意義來解.先求出到 1和 -1兩點距離為 3的點的值,然后利用數軸求得.

(2)本小題利用零點分段對絕對值進行討論,通過恒成立轉化為求函數 f(x)的最小值.

若 a=1,則 f(x)=2|x-1|,易知不滿足題意.

評注本題主要考查解絕對值不等式的有關知識及其轉化思想、分類討論思想.

題型 2不等式的證明

不等式證明具有形式多變、方法靈活的特點,因此有的學生感覺證明時無從入手,難度比較大.下面介紹 2種思路供大家參考.

(1)注重模型

模型識別能起到定向訓練的作用,即訓練學生在遇到新問題時,善于識別問題的特征,準確地將其歸納為某種數學模型,從而盡快地明確解題思路,選擇解題方向.

評注通過上面的證明,可以知道如何來的,這種證明比直接用柯西不等式、均值不等式的證明更有探索和思考的價值.

題型 3不等式的應用

主要是利用不等式(柯西不等式、均值不等式)來求函數的最值.在利用均值不等式求最值時,務必注意 3個要點:“一正二定三相等”,“一正”是指不等式中各項都是正數;“二定”是不等式中含變數的各項和(或積)必須是常數;“三相等”是指等號成立的條件必須滿足要求.

在利用柯西不等式求最值時,要注意配湊常數及等號成立的條件.