高考直線和圓綜合問題透析

●黃 偉 (杭州市第二中學 浙江杭州 310009)

高考直線和圓綜合問題透析

●黃 偉 (杭州市第二中學 浙江杭州 310009)

1 考試要求

直線與圓是高中解析幾何部分的開門篇,利用代數法研究幾何問題,體會數形結合的思想是本章的重點,也是解析幾何的核心.具體內容包括:

(1)結合具體圖形確定直線位置的幾何要素;(2)理解直線的傾斜角與斜率的相互關系;(3)根據直線斜率判定 2條直線平行或垂直;(4)掌握兩點間、點到直線、平行線間的距離計算;

(5)掌握圓的標準方程與一般方程;

(6)能利用直線與圓的方程解決一些幾何量的計算和位置關系的判定問題.

2 考點回顧

縱觀近 2年的數學高考試題,筆者發現各地區在這一部分的出題情況較為相似,通常只有一道選擇題或填空題,分值在 5分左右.部分省份(包括2010年浙江省)在解答題上進行考查,命題的能力立意已日益明顯.注重等價轉化與數形結合思想的應用,文、理科要求一致,難度為中、低檔,有一定的區分度.重點是方程的確定、有關弦長問題和直線與圓的位置判定等.

3 命題走勢

通過對近幾年高考中出現的有關直線與圓的考題的研究,可以預測 2011年高考中這部分內容仍將以中、低檔題出現,主要考查基礎知識和基本方法,尤其要掌握運用圖形的幾何性質來解決問題的策略.直線與圓的位置關系和弦長問題仍將是重點內容,但同時通過與向量、函數、不等式等知識的聯系和交叉,等價轉化與數形結合思想的考查會進一步增強.題型一般為 1個小題,難度為中、低檔;大題則綜合性較強,重在考查等價轉化的解題思想.

4 典例剖析

4.1 利用圖形幾何特征,轉化為對應的代數形式

此類題多為中、低檔題,幾何特征所對應的代數形式較為明顯,但需注意轉化的等價性,如表 1所示.

表 1 幾何特征與代數形式的轉化

例 1求經過點 A(-5,2),且在 x軸上的截距等于在 y軸上截距 2倍的直線方程.

分析圖形的幾何特征是直線,對應的代數形式是 5種直線方程,考慮到截距可以為正數、負數、0,因此用截距式求方程需分直線過原點與不過原點這 2種情況進行討論.

4.2 利用圖形的幾何性質, 挖掘其中的幾何特征

4.3 利用代數形式的幾何特征, 借助幾何圖形解決問題

4.4 挖掘綜合問題中的核心要素,借助數或形實現等價轉化

圖1

圖2