高考復習中的三角問題解讀

●伊建軍 (杭州高級中學 浙江杭州 310003)

高考復習中的三角問題解讀

●伊建軍 (杭州高級中學 浙江杭州 310003)

1 考試要求

三角函數作為重要的基本初等函數之一,是高考必考的內容.這部分內容充分體現了知識的基礎性,可以考查學生掌握基本知識的情況;也體現了知識的工具性,可以滲透并運用于高中數學的各個知識點中;同時又體現了知識的應用性,可以在常規中考查學生的能力.

在高考考試說明中,對三角函數的要求非常明確.要求學生在了解任意角、弧度制概念的基礎上,理解三角函數的定義、圖像與性質,并且對誘導公式、同角三角函數的關系能熟練運用.對函數的物理意義、圖像變換等也要有充分的了解.

解三角形是三角函數的一個典型應用,考試說明中明確提出必須掌握正弦、余弦定理,并能運用這 2個定理解決實際問題.

三角恒等變換是解決三角函數的圖像與性質、解三角形問題的重要工具,因此掌握兩角和與差的正弦、余弦公式,掌握二倍角公式,并能加以運用,是正確解決三角函數問題的關鍵.

2 考點回顧

2009年與 2010年的新課程高考,對三角函數內容的命題充分體現了在基礎中考能力、在常規中考應用等特點.主要通過以下 2個方面進行考查:一是重視對基礎知識的考查;二是對三角函數的應用性進行考查,主要是在解三角形中的應用.

3 命題走勢

三角函數部分的知識能夠反應學生的數學學習能力,對函數性質與圖像的掌握情況可以在三角函數中得到體現,公式運用及其公式變形能力、運算能力等都可以在這些問題中進行考查.三角函數知識與其他知識點的結合也是目前高考的一個趨勢,它體現了創新的命題思想.

4 典例剖析

三角函數是以“角”為自變量的函數,可以從“角”的特征進行分析,弄清已知條件中的“角”與所求式子中的“角”的關系分析解題思路,從而得到解題方法.

分析第(1)小題是利用二倍角公式的正弦與余弦、兩角和的正弦公式化簡函數 y=A sin(ω x+φ),再研究函數的性質.這種題型在高考中出現的頻率比較高,主要考查學生三角函數的公式運用、變形能力.第(2)小題可以利用特殊角來尋找已知角與未知角之間的關系.

解(1)因為

與三角形有關的三角函數問題是近幾年高考中出現最多的一類問題,這類問題在已知條件、所求結論中往往會涉及三角形的邊角關系、三角形面積及有關最值等問題.解決這類問題,首先要充分利用三角形的幾何特征,畫出圖形分析問題;其次,在邊角混合的等式中,一般應往同一個方向化簡,即將式子中的邊都化成角或將式子中的角都化成邊,進而利用正弦定理或余弦定理及三角函數的有關公式求解.

在三角函數問題中,范圍與符號是學生解題中出現錯誤較多的一類問題.為了減少這類錯誤的出現,一方面可以從結果出發進行檢驗;另一方面要注意不要擴大或縮小角的范圍.

另外,對函數 y=A s in(ω x+φ),特別注意要有一個整體觀念,即把 ω x+φ看成一個整體,容易得到非常清晰的解題思路.

點評函數 y=sin x,y=|sin x|及 y=sin x+|sin x|的圖像與性質相對比較容易,要學會把一個較復雜的問題轉化為一個簡單的問題來解決,整體思想就是一種常見的方法.

精題集粹

1.函數 f(x)=3sin(x+10°)+5sin(x+70°)的最大值是 ( )

A.5.5 B.6.5 C.7 D.8

2.使函數 f(x)=4-cos2x-sin x為增函數的區間可以是 ( )