2011年數學高考模擬卷(二)

2011年數學高考模擬卷(二)

一、選擇題：(本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的4個選項中，只有1項是符合題目要求的.)

1.設全集U=R，集合A={x|x>0}，B={x|x2-2x-3<0}，則(CUA)∩B=

( )

A.(-1,0] B.(-3,0] C.(0，3) D.(0，1)

( )

3．已知命題p:實數x滿足logax>loga(2-x)，其中0

( )

( )

圖1

5.如果執行如圖1所示的程序框圖，那么輸出的S為

( )

6．已知m,n是2條異面直線，點P是直線m,n外的任一點，有下面4個結論：

①過點P一定存在一個與直線m,n都平行的平面;

②過點P一定存在一條與直線m,n都相交的直線;

③過點P一定存在一條與直線m,n都垂直的直線;

④過點P一定存在一個與直線m,n都垂直的平面.

這4個結論中正確的個數為

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

( )

( )

( )

( )

A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空題：(本大題共7小題，每小題4分，共28分，把答案填在題中橫線上.)

圖2

12.從參加低碳生活知識競賽的學生中抽出60名，將其成績整理后畫出的頻率分布直方圖(如圖2),則這些學生成績的中位數為________(保留一位小數).

14．已知某幾何體的三視圖如圖3所示,其中俯視圖是邊長為2的正三角形,側視圖是直角三角形,則此幾何體的體積為________.

圖3

15．某人要測量一座山的高度，他在山底所在的水平面上，選取在同一直線上的3個點A,B,C進行測量.他在點A測得山頂的仰角是45°,在點B測得山頂的仰角是60°，在點C測得山頂的仰角是30°，若AB=BC=a,則這座山的高度為________(結果用a表示).

三、解答題：本大題含5個小題，共72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(1)求函數y=f(x)的解析式和定義域；

(2)求函數y=f(x)的值域.

(1)求甲獲得實習機會的概率；

圖4

(2)設甲在應聘過程中的所得分數為隨機變量ζ，求ζ的數學期望.

20．如圖4，在幾何體S-ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD=DC=2,BC=1，又SD=2，∠SDC=120°.

(1)求SC與平面SAB所成角的正弦值；

(2)求平面SAD與平面SAB所成的銳二面角的余弦值.

(1)求橢圓E的方程.

(2)直線l:x=my+1與橢圓交于不同的點A,B，在x軸上是否存在點M，使得直線MA與直線MB的斜率之積為定值.若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

22．已知函數f(x)=(x3-6x2+3x+t)ex，t∈R.

(1)若函數y=f(x)在區間[-2,+∞)上為增函數，求t的取值范圍；

(2)若存在實數t∈[0,2]，使對任意的x∈[1,m]，不等式f(x)≤x恒成立，求正整數m的最大值.

參考答案

1.A 2.A 3.C 4.B 5.C 6.A 7.C 8.C 9.C 10.A

16.-495 17.S3n=3(S2n-Sn)

18．解(1)設△ABC的外接圓的半徑為R，則

解得R=2，因此

從而

19.解(1)筆試和面試得分之和為25分的概率為

筆試和面試得分之和為30分的概率為

則甲獲得實習機會的概率為

(2)ζ的取值為0，5，10，15，20，25，30.因此

由第(1)小題知

圖5

20.解如圖5,過點D作DC的垂線交SC于點E,以點D為原點,分別以DC，DE，DA為x,y,z軸建立空間直角坐標系.由∠SDC=120°，得

∠SDE=30°.

可得

可得

得

則橢圓方程為

即

3x2+12y2=4c2.

得

15x2+24cx+8c2=0，

因此

(2)設M(x0,0),A(x1,y1),B(x2,y2).由

得

(m2+4)y2+2my-3=0,

從而

22．解(1)f′(x)=(3x2-12x+3)ex+(x3-6x2+3x+t)ex=(x3-3x2-9x+t+3)ex.

由f(x)在區間[+2,+∞)上為增函數，可得

(x3-3x2-9x+t+3)ex≥0

在區間[-2,+∞)上恒成立.令g(x)=x3-3x2-9x+t+3,則

g′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).

因此g(x)在[-2,-1],[3,+∞)上遞增，在[-1,3]上遞減.因為

g(-2)=1+t,g(-1)=8+t,g(3)=t-24，

所以g(x)在區間[-2,+∞)上的最小值為g(3)=t-24,即t-24≥0，故t的取值范圍是t≥24.

(2)由不等式f(x)≤x，得

(x3-6x2+3x+t)ex≤x,

即

t≤xe-x-x3+6x2-3x.

問題可轉化為存在實數t∈[0,2]，對任意的x∈[1,m]，不等式t≤xe-x-x3+6x2-3x恒成立，即0≤xe-x-x3+6x2-3x在x∈[1,m]上恒成立，亦即不等式0≤e-x-x2+6x-3在x∈[1,m]上恒成立.

設φ(x)=e-x-x2+6x-3，則

φ′(x)=-e-x-2x+6.

設r(x)=φ′(x)=-e-x-2x+6，則r′(x)=e-x-2 .因為1≤x≤m，所以r′(x)<0，故r(x)在區間[1,m]上是減函數.又

r(1)=4-e-1>0,r(2)=2-e-2>0,

r(3)=-e-3<0,

所以存在x0∈(2,3)，使得r(x0)=φ′(x0)=0.

當1≤x0；當x>x0時，φ′(x)<0.從而y=φ(x)在區間[1,x0]上遞增，在區間[x0,+∞)上遞減.又因為

φ(1)=e-1+4>0,φ(2)=e-2+5>0,

φ(3)=e-3+6>0,φ(4)=e-4+5>0,

φ(5)=e-5+2>0,φ(6)=e-6-3<0.

所以當1≤x≤5時，恒有φ(x)>0；當x≥6時，恒有φ(x)<0.故使命題成立的正整數m的最大值為5.

(供稿人：王連壩)