2011年數學高考模擬卷(三)

2011年數學高考模擬卷(三)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的4個選項中，只有1項是符合題目要求的.

1．已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-x2)},則M∩N為

( )

A.(1，2) B.(1，+∞) C.[2,+∞) D.[1,+∞)

2．若a∈R，則a=1是復數z=a2-1+(a+1)i是純虛數的

( )

A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

圖1

3．如果執行如圖1所示的程序框圖，那么輸出的t=

( )

A.96 B.120 C.144 D.300

4．函數f(x)=|x-2|-lnx在定義域內零點的個數為

( )

A.0 B.1 C.2 D.3

( )

A.1 B.-3 C.1或-3 D.0

( )

A.10 B.19 C.20 D.39

圖2

7．如圖2，正四面體ABCD的棱長為a，且AD⊥平面α于點A，點B，C，D均在平面α外，且在平面α的同一側，則點B到平面α的距離是

( )

8．現有4所大學進行自主招生，同時向一所高中已獲省級競賽一等獎的甲、乙、丙、丁4位學生發出錄取通知書．若這4名學生都愿意進這4所大學的任意一所就讀，則僅有2名學生被錄取到同一所大學的概率為

( )

( )

A.直線l上的所有點都是“好點” B.直線l上的所有點都不是“好點”

C.直線l上僅有有限個點是“好點” D.直線l上有無窮多個點是“好點”

( )

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分.

圖3

13.如圖3是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積是________.

15.若x5+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a5(x-1)5對任意實數x都成立,則a1+a2+…+a5的值等于________(用數字作答).

三、解答題：本大題共5小題,共72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

18．已知在△ABC中，內角A,B,C對邊的邊長為a,b,c，設向量m=(b,2a-c),n=(cosB,cosC),且滿足m∥n.

(1)求角B的大小；

(2)若y=cos2A+cos2C,求y的取值范圍．

19．從集合{1,2,4,8,16,32,64}的所有非空真子集中等可能地取出一個.

(1)求所取的子集中元素從小到大排列成等比數列的概率；

(2)記所取出的子集的元素個數為ζ，求ζ的分布列和數學期望.

圖4

20.如圖4,側棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四邊形ABCD中,AE=2,AC=AA1=4,∠E=60°,點B為DE的中點.

(1)求證:平面A1BC⊥平面A1ABB1.

(2)設二面角A1-BC-A的大小為α,直線AC與平面A1BC所成的角為β,求sin(α+β)的值.

21.已知曲線C上任意一點M到點F(1，0)的距離比它到直線x=-2的距離小1．

(1)給定點Q(1，1)，在曲線C上求一點M，使|MQ|+|MF|取得最小值；

(2)若斜率為-1的直線l與曲線C相交于點A,B，點P(1,2)不在直線l上，設直線PA,PB的斜率分別為k1,k2,試判斷k1+k2是否為定值，說明理由.

22.已知函數f(x)=lnx-mx+m,m∈R.

(1)若f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立，求實數m的取值范圍．

參考答案

1.A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.C 7.A 8.B 9.D 10.C

18．解(1)由m∥n,得

bcosC=(2a-c)cosB,

再由正弦定理可得

sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，

即

sin(B+C)=2sinAcosB.

因為0

得

(2)由第(1)小題可知

于是y=cos2A+cos2C=

因此

19.解(1)非空真子集的個數為

n=27-2=126.

符合條件的子集有：三元集9個，四元集5個，五元集3個，6元集2個，因此

m=9+5+3+2=19,

于是

(2)ζ的分布列如表1所示.

表1 ζ的分布列

20.解(1)在平行四邊形ABCD中,由AE=2,AC=4,∠E=60°,點B為DE的中點，得

∠ABE=60°,∠CBD=30°,

從而∠ABC=90°,即AB⊥BC.又由AA1⊥面ABC，BC?面ABC，得

AA1⊥BC，

從而

BC⊥平面A1ABB1.

又BC?平面A1BC,所以平面A1BC⊥平面A1ABB1.

(2)由第(1)小題可知

A1B⊥BC,AB⊥BC，

因此∠A1BA為二面角A1-BC-A的平面角.在Rt△A1AB中,

從而

圖5

設n=(x,y,z)為平面A1BC的一個法向量,則

即

解得

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

于是

sin(α+β)=1.

得

x2-(2b+4)x+b2=0,

因此

x1+x2=2b+4,x1x2=b2.

于是

因此k1+k2為定值．

當m≤0時，f′(x)>0恒成立，則函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,顯然不成立.

只需m-lnm-1≤0即可．令g(x)=x-lnx-1,則

因此函數g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞)上單調遞增，得

g(x)min=g(1)=0.

若f(x)≤0在x∈(0,+∞)上恒成立，則m=1.

由第(1)小題知

g(x)=x-lnx-1≥g(1)=0,

從而

lnx0)

(供稿人:陳利民)