例談圓錐曲線知識在高考中的綜合應用

●楊 帆 (杭州市第二中學 浙江杭州 310052)

例談圓錐曲線知識在高考中的綜合應用

●楊 帆 (杭州市第二中學 浙江杭州 310052)

解析幾何是中學數學的核心內容之一,在高考數學中占有十分重要的地位,是高考的重點、熱點和難點.解析幾何基本思想是利用代數的方式研究幾何:曲線用怎樣的代數形式表示,某個代數式描述怎樣的幾何性質,怎樣表述各種位置關系和數量關系等本質問題是考查的重點.

由于導數的引入,曲線的切線問題逐步受到命題者的青睞.新課標對學生的運算能力有明確的要求,解析幾何是其天然的載體,設計的問題入口寬、代數運算強,對學生的解題能力有較高的要求.

1 考試要求

掌握橢圓與拋物線的定義、幾何圖形、標準方程;了解雙曲線的定義;掌握雙曲線的幾何圖形和標準方程,理解它的簡單幾何性質;能解決直線與橢圓、拋物線的位置關系問題;理解數形結合思想.

2 命題走勢

從近 2年的各省市高考試卷來看,與圓錐曲線相關的試題分值在 20分左右.試題既注重了通性通法,淡化了特殊技巧,又適度體現了靈活運用技巧解題的能力.圓錐曲線小題更多地考查圓錐曲線的定義、方程與幾何性質,離心率、漸近線等問題穿插在各種幾何性質中.圓錐曲線大題仍出現在理科試卷倒數第 2題、文科試卷最后一題的位置,綜合能力要求較高,主要體現在以下幾個方面:

(1)突出解析幾何知識的橫向聯系(譬如直線與圓錐曲線的位置關系,橢圓、拋物線與圓的相互結合等),提高運用函數和方程的思想,在遵循“設—列—解”的程序化運算的基礎上,體現解析幾何設而不求的求簡意識;

(2)進一步融合圓錐曲線與其他知識板塊的交叉,利用向量幾何與代數的“雙重身份”、導數幾何意義的“切線問題”包裝圓錐曲線的幾何性質,體現向量法和導數法的應用;

(3)最值、定值問題依然為高考的熱點之一,將函數思想、方程思想、分類討論思想、代數運算能力、推理論證能力、抽象概括能力等貫穿于一道試題中;

(4)圓錐曲線綜合題中存在型問題的表現形式一般有:肯定型、否定型和討論型,較好地體現了觀察、聯想、類比、猜測、抽象、概括等能力的考查.

3 典例剖析

熱點 1直線與圓錐曲線的位置關系

當涉及到直線與圓錐曲線相交時,由于交點既在直線上,又在圓錐曲線上,因此其坐標是直線方程與圓錐曲線方程聯立一元二次方程的解.這就溝通了形與數的關系,通過形的代數化找到韋達定理的結構,這是解決此類問題的通行之路.

圖1

(1)當直線 l過右焦點 F1時,求 l的方程.

(2)設直線 l與橢圓 C交于點 A,B,△AF1F2,△BF1F2的重心分別為 G,H.若原點 O在以線段G H為直徑的圓內,求實數 m的取值范圍.

(2010年浙江省數學高考理科試題)

考點分析本題主要考查橢圓的幾何性質、直線與橢圓、點與圓的位置關系等基礎知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

(解題過程請參見本刊 2010年第 8期第 28頁.)

點評明確求解目標,建立關于參數 m的方程是解決此題的思維核心;將條件“原點 O在以線段 G H為直徑的圓內”轉化為代數形式是此題的難點.

熱點 2以向量為載體的綜合性問題

這類問題往往融向量、解析幾何、方程、不等式等知識于一體,能有效考查學生的思維水平和綜合能力.解決這類問題的基本方法是:利用平面向量的坐標表示法,將問題中的向量關系轉化為代數關系,再根據解析幾何中已有的知識與方法求解.(1)求橢圓 C的方程.(2)設 n是過原點的直線,l是與 n垂直相交于點P,與橢圓相交于點 A,B的直線,=1.是否存在上述直線 l使得=1成立?若存在,求出直線 l的方程;若不存在,請說明理由.

圖2

(2010年陜西省數學高考理科試題)

考點分析本題主要考查橢圓的方程與幾何性質、直線與橢圓的位置關系及向量等基礎知識,同時還考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

熱點 3最值與范圍問題

求圖形面積的最值,求某個參量的范圍是解析幾何中經常出現的設問形式,其思維方式是借助一般的處理方法.選擇好參量,建立目標函數,然后借助函數的性質解決,或使用導數求其最值,或用基本不等式一步到位.

例 3 如圖 3所示,已知拋物線 E:y2=x與圓M:(x-4)2+y2=r2(r＞0)相交于點 A,B,C,D.

(1)求 r的取值范圍;

(2)當四邊形 ABCD的面積最大時,求對角線A C,B D的交點 P的坐標.

(2009年全國數學高考理科試題)

圖3

考點分析本題主要考查拋物線與圓的幾何性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識,同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

解(1)聯立拋物線 E:=x與圓:(x-4)2+=(r＞0)的方程,消去得

點評考試大綱中明確提出不考查 2個圓錐曲線的交點坐標,因此利用設而不求、整體代入、轉換參量的方法處理本題是一個較好的切入點.求解最值(范圍)問題大致有 4條途徑:(1)利用圓錐曲線定義,結合有界性求解;(2)選擇變量,構造函數,利用函數性質或者導數求最值;(3)借助基本不等式求最值;(4)利用數形結合及平面幾何知識處理.

熱點 4定值與定點問題

定值與定點問題在解題之前不知道定值與定點的結果,因而給解題增添了一定的難度.

圖4

(3)設 t=9,求證:直線 M N必過 x軸上的一定點(其坐標與 m無關).

(2010年江蘇省數學高考試題)

考點分析本題主要考查軌跡方程、直線與橢圓的方程及位置關系等基礎知識,考查運算求解能力和探究問題的能力.

圖5

圖6