對高等代數教學中數學創新思維能力培養的思考

摘 要： 本文通過分析數學創新思維的特征，討論了在《高等代數》教學與實踐中如何培養學生的數學創新思維能力，提出了在高等代數教學中培養學生數學創新思維能力的一些觀點和方法。

關鍵詞： 《高等代數》 數學創新思維能力 培養方法

《高等代數》是普通大中專院校數學專業的三門專業基礎課（數學分析、高等代數、解析幾何）之一，其教育目的主要是讓學生通過抽象性、邏輯性、應用性的必要訓練，逐步形成運用高等代數的原理和方法解決實際問題的思維模式和思維習慣。作為大學數學專業基礎課之一的高等代數，不僅是中學代數的繼續和提高，而且是進一步學習其它課程的基礎，是研究數學其他分支和自然科學的基本工具。高等代數的理論和方法無論是對整個數學的發展與完善，還是對學生綜合素質的提高和創新能力的培養都有十分重要的意義。因此，在高等代數的教學與實踐中培養學生的數學創新思維能力顯得尤為重要。本文對如何在高等代數教學中有意識地培養學生的數學創新思維能力的方法進行了探索與思考。

1.正確理解數學思維及其教育價值

數學是關于現實世界的空間形式和數量關系的科學，思維是人腦對客觀世界的概括和間接反映。數學思維是以數和形為思維對象，以數學語言為載體，以認識和發展數學規律為目的的一種思維活動。創新性思維是一種能得到獨特而有顯著效果的最高層次的思維活動。數學創新性思維既從屬于創新性思維，又從屬于數學思維；它既是邏輯思維與非邏輯思維的綜合，又是數學中發散思維與收斂思維的辯證統一，是創新性思維在數學中的體現。因此，它既具有創新性思維的特點，又具有數學思維品質的特征。數學創新性思維就是根據數學本身高度的抽象性、邏輯的嚴密性、結論的確定性與應用的廣泛性等特點，去探索、突破與創新。在綜合和應用已有的知識和經驗處理問題時，提出全新的見解和思路。因此，對學生數學創新性思維的挖掘與培養是對學生在數學學習過程的各個環節有目的地滲透與影響，使其在學習與思考的過程中不斷強化與創新能力相關的基本能力的形成，最終達成其創新能力的逐步形成與升華提高。

2.高等代數教學中數學思維能力的培養

數學創新性思維的產生必須具有扎實的基本功、豐富的經驗和良好的知識結構，具有發現問題的強烈意識和執著的探索精神。數學創新性思維能力的培養是一個長期的過程，需要教師在數學教學中認真探索，積極試驗，逐步滲透。高等代數學科內容抽象，邏輯嚴密，包含有許多現代數學的基本觀點和方法，與中學數學聯系密切，是數學專業大學生進入大學后首先要學習的課程內容之一。在高等代數的教學中應注重培養學生的創新性思維能力。我結合多年高等代數授課經驗，從以下幾個方面討論了教與學的過程對學生數學創新思維培養的途徑和方法。

2.1理論結合實際，深化概念教學，探求學科聯系，為學生營造數學創新思維能力的形成環境。

高等代數中的許多概念與方法，往往與中學數學中的代數有許多的相似與聯系。譬如知識體系方面，中學的數學教學中已經有了多項式的運算，以及多項式的基本理論和一次、二次方程，等等。任課老師應該抓住這些學生們的曾經“映像”來激發他們進一步認知的欲望與興趣。要做好與中學數學銜接的教學，可以通過引入適當的數學人物與典故，從故事入手，將中學所學的知識在同學們關注與殷切的眼神中無形灌輸，再自然引入要講的高等代數的理論，這樣一種潛移默化的過程中的知識的消融，是值得教學者去思考與實踐的。同時學生在這樣的過程中會激發認知欲，提高關注度，了解中學代數與高等代數的關聯，無形中構筑數學創新思維能力形成的基本環境。

在如何去深化概念教學這個問題上，我們可以通過對比、聯想概念之間的異同，找出每個概念的特點，挖掘出每個概念的關鍵，以培養學生思維的深刻性和理解概念、分清實質的能力。這種能力表現為能洞察所研究事物的本質及其相互關系；能從所研究的材料中揭示被掩蓋的特殊情況，能組合各種模式，等等。例如，高等代數教學環節的作業批閱中，老師會發現很多的學生在進行行列式運算和矩陣運算時，經常會混淆運算中的符號。在用初等變換化簡一個矩陣時，每一步之間用等號連接，而計算行列式的每一步之間卻用箭頭連接，這是一種常見的錯誤。問題的關鍵是明確什么是矩陣，什么是行列式，以及它們之間的本質差別，矩陣相等是什么含義，矩陣等價又是什么含義，等等。同學們開始時概念是模糊不清且易混淆的，教師可以將矩陣與行列式比較、鑒別，明確行列式是個值而矩陣是個表。又如數的乘法與矩陣乘法有許多相同之處，但也有不同之處。單位矩陣在矩陣乘法中所起的作用類似于數1在數的乘法中所起的作用。但因矩陣乘法有零因子，不可換，那么矩陣的乘法就值得研究了，因而A-1存在的充要條件是|A|≠0，而不僅僅是A≠0所能滿足的。這就有別于數α-1存在的充要條件是α≠0。

尋求學科聯系，把握創新能力形成的時機。這種教學方法既能實現分層次教學的原則，又能保證學困生能理解，中等生能掌握，優秀生能充分發揮。同時通過揭示知識之間的內在聯系，就能充分調動學生學習的自主性、探索性和創新性，為學生提供創新的時機，營造創新的環境。譬如在教學線性方程組的時候，教師可以結合運籌學單純形規劃的內容將線性方程組進行推廣與拓寬，讓學生的興趣從高等代數這個抽象的數學基礎課程延伸到與經濟、應用等密切聯系的運籌學，再輔以“運籌于帷幄之中，決勝于千里之外”等古詩詞的引導，必能激發學生更強的求知欲，以達到不同學生有不同了解嘗試的分層次教學目的，培養學生的創新思維能力。

要理論與實際相結合，雖然是針對高等代數教學，但對任教者而言，在課前要做足功課，努力鉆研，尋求學科之間的聯系，把握激發學生推理演繹能力的時機。在這一點上，國內許多高校都進行了有效的嘗試，廈門大學林亞南教授團隊的高等代數國家級精品課程，南京師范大學陳永高教授的高等代數精品課程建設，無一不是凝聚了一個團隊數年幾輪的高等代數教學經驗的總結，他們在高等代數的課程中融入數學建模的思想，陳永高教授將高等代數的知識運用到競賽數學的魔方求解中，都是對高等代數理論與現實趣味數學與應用數學實際的有效結合與嘗試。

2.2改革傳統教學方法，培養學生的認知思維能力。

在高等代數的課堂授課中，教師應多用善用啟發式教學方法，對有些難于理解的概念和理論，先用淺顯的語言或生動的比喻或學生所熟悉的內容來引入，“化難為易”，讓學生先得到一定的感性認識，隨著老師的一步步引導，不斷深入，逐步改進、完善、精確，最后學生能夠水到渠成地得到結論，并總結出方法，上升到理性認識，達到“化易為難”，徹底理解的目的。另外，在教學概念貫徹的過程中，采用層層深入的問題式教學方法亦會得到學生反饋與共鳴。例如，“矩陣的可對角化的條件”是高等代數教學內容中較難理解與掌握的內容。在教學中我們教學組作了如下設計。首先采用啟發式的語言作為開場白：“研究高等代數的重要工具是什么呢？”同學們大多能回答出是矩陣。“而矩陣中最簡單的為哪一類呢？”這時大多數同學會說出是單位矩陣，鮮有同學會說出是對角陣。這個時候，老師的點撥就非常重要了，老師要“順水推舟”，將單位陣和對角陣的聯系和區別在此進行宣講，在學生們求知的眼神中進行循循善誘式的教導。緊接著提出新問題：“是否所有的矩陣都能相似于對角陣？”“那么什么樣的矩陣可相似于對角陣呢？”“若相似的話，又如何化為對角陣？”通過設疑，不僅激發學生的思考，而且使學生明確本節內容的重點可對角化的條件與方法。然后設計由淺入深、層層深入的問題串：“矩陣的相似與線性變換有何關系？”“線性變換可對角化的本質是什么？”“對角化的必要條件是什么？”“在什么情況下，這些條件能夠成立？”一系列的問題，不僅能打破學生思維的局限性，而且能分散難點。同時在解決問題的過程中，學生不僅能創新性地提出不同于教材內容的條件和方法，提高創新能力，而且能體會到創新的樂趣。

在教學中，我們注重過程的探索，通過探索過程，讓學生自己去找可能有的結果。這樣學生不僅學到了知識，而且提高了思維的靈活性。另外在整理結果的過程中，又進一步優化了學生的思維品質，培養了創新能力。高等學校的數學教學模式，多為課堂講授，前幾年很多受到高校大一新生人數太多，師資編制不合理等客觀條件制約，往往選擇大課教學，兩個班甚至三個班集中在一起上大課，滿堂灌式教學，只有這樣才能從教學大綱的要求上來完成“教學任務”。最近幾年，隨著國家對教育的不斷投入，以及大多數高校強化本科生教學的層層推進，很多學校強化了“老三高”課程的教學，在課時上往往已能保證。高等代數教師應該豐富和更新知識體系，唯此，才能高屋建瓴，洞悉學科之間相互聯系，完善和增進技能，會用善用多媒體技術，會舉且能恰如其分地舉應用的實例，以達到課堂教學中對學生創新能力創設的最好情境。

通常的教學過程包括課堂教學、課后答疑、作業批閱和命題測試，這里特別強調課外閱讀的重要性，特別是課外數學閱讀的重要性。在教學過程中，學生的創新思維能力與他的興趣密切相關，課堂上學生若能被老師扎實的理論知識和深厚地學術素養所吸引，必對其所言所教產生一定的“心悅誠服”，倘若教學中教師能發揮自己的主導作用，在教學過程中“旁征博引”，能說出理論的來龍去脈，甚至能“尋根溯源”，必能激發學生的興趣與再認知的想法，此時，畫龍點睛循循善誘式的引導學生去進行相應的數學閱讀不失是培養學生自主探索與追尋數學王國的一種好的方法。

總之，高等代數教學對學生數學思維的能力培養具有重要的作用，作為高等代數教育工作者，我們必須探索在現代教育理念下的教學方法改革、教學內容革新與教學規律變化，在教學過程中要有意識地創設問題情境，引導學生善于發現問題和提出問題，并用所學知識解決問題，培養學生良好的問題意識與創新能力，只有這樣才能確立課堂教學中教師為主導、學生為主體的地位，使大學數學基礎課程教學課堂真正成為學生主動參與探索、發現問題、提出問題、解決問題、獲得數學知識、培養良好數學品質、提高數學素質、培養數學創新能力的場所。

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