藝術(shù)類學(xué)生中古典概型的教學(xué)探討

新課標對古典概型的要求是：通過實例理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機事件所含有的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，并強調(diào)“教學(xué)中不要把重點放在如何計數(shù)上”。文科生不學(xué)排列組合，藝術(shù)類學(xué)生花在數(shù)學(xué)上的時間不多，如何讓學(xué)生學(xué)會列舉，從而能熟練掌握古典概型的計算呢？我作了以下嘗試。

一、3個及3個以上元素的排列問題

（一）當抽樣有序時，一般可用畫“樹圖”的方法解決。

先從初中學(xué)過的概率問題入手，總結(jié)出古典概型的計算公式。（略）

例1．一枚質(zhì)地均勻的硬幣連擲三次，出現(xiàn)“二次正面，一次反面”的概率是?搖?搖?搖?搖。

解析：將所有結(jié)果用“樹圖”表示出來，基本事件總數(shù)有8個。

設(shè)事件A為“出現(xiàn)二次正面，一次反面”，A所包含的基本事件有3個：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），故P（A）=.

例2．用三種不同顏色給如圖的3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，3個矩形顏色都不同的概率是?搖?搖?

設(shè)事件A為“3個矩形顏色都不同”，事件A的結(jié)果有6個：（1，2，3），（1，3，2），（2，3，1），（2，1，3），（3，1，2），（3，2，1），故P（A）==.

例3．（2009年福建高考）袋中有大小和形狀相同的紅、球各1個，現(xiàn)依次有放回地隨機摸取3次，每次摸取1個球，（1）共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果。（2）若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球得5分時的概率。

解析：共有8種不同的結(jié)果。

記事件A為“3次摸球所得總分為5”，A包含的基本事件有3個：（紅，紅，黑），（紅，黑，紅），（黑，紅，紅），P（A）=.

例4.甲、乙、丙3人站成一排合影留念，甲乙2人恰好相鄰的概率為?搖?搖?搖?搖。

解析：基本事件總數(shù)有6個。

甲乙恰好相鄰的有：（甲，乙，丙），（乙，甲，丙），（丙，甲，乙），（丙，乙，甲），故概率P==.

（二）當抽樣無序時，可用枚舉法進行計算。

例5．從A、B、C、D、E五人中選3名代表，B一定入選的概率為?搖?搖?搖?搖。

解析：所有基本事件為（A，B，C）、（A，B，D）、（A，B，E）、（A，C，D）、（A，C，E）、（A，D，E）、（B，C，D）、（B，C，E）、（B，D，E）、（C，D，E）共10個，“B一定入選”這一事件包含6個基本事件，故P＝=.

變式練習(xí)：（2009年安徽高考）從長度分別為2，3，4，5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可構(gòu)成三角形的概率是?搖?搖?搖?搖。

解析：從四條線段中任取三條有4種不同結(jié)果：（2，3，4）、（2，3，5）、（2，4，5）、（3，4，5），能構(gòu)成三角形的有3種：（2，3，4）、（2，4，5）、（3，4，5），故P=.

二、2個元素的排列問題采用表格法

（一）抽樣無序時采用“半表”法。

例6.一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球。（1）共有多少個基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？

解析：分別記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，從中摸出2只球，有10個基本事件：

（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）

（2，3）（2，4）（2，5）

（3，4）（3，5）

（4，5）

設(shè)事件A為“摸出的2只球都是白球”，A所包含的基本事件共3個：（1，2）（1，3）（2，3），故P（A）＝.

注：“從中任取2球”，無順序，故用半表法枚舉。

變式練習(xí)：（09江蘇高考）現(xiàn)有5根竹竿它們的長度（單位米）分別為2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若從中一次隨機抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0.3的概率為?搖?搖?搖?搖。

解析：從2.5，2.6，2.7，2.8，2.9中任取2個數(shù)據(jù)，有10種取法：

（2.5，2.6）（2.5，2.7）（2.5，2.8）（2.5，2.9）

（2.6，2.7）（2.6，2.8）（2.6，2.9）

（2.7，2.8）（2.7，2.9）

（2.8，2.9）

其中長度相差0.3是：（2.5，2.8）（2.6，2.9），所求概率為P==.

（二）抽樣有序時采用“全表”法。

例7．一只口袋中裝有2只紅球，1只白球，從中取出1只球放回，再任取1只球，取出的2只都是紅球的概率為?搖?搖?搖?搖。

解析：分別記二只紅球為1，2號，一只白球為3號，基本事件總數(shù)有9個：

（1，1）（1，2）（1，3）

（2，1）（2，2）（2，3）

（3，1）（3，2）（3，3）

取出的2只都是紅球，包含4個基本事件（1，1）（1，2）（2，1）（2，2），故P=.

注：從中取出1只球放回，再任取1只球，即取球時“放回，有序”，故用“全表”法。

例8．口袋中有紅、白、黃、黑顏色不同，大小相同的四只球，從中先后各取一球，先后取出的分別是紅球、白球的概率為?搖?搖?搖?搖。

解析：分別記紅、白、黃、黑球為1，2，3，4號，基本事件總數(shù)為12個：

（1，2）（1，3）（1，4）

（2，1）（2，3）（2，4）

（3，1）（3，2）（3，4）

（4，1）（4，2）（4，3）

先后取出的分別是紅球、白球為（1，2），故所求概率為.

注：“先后各取1球”，有序但不放回，故表格與例2不同。

（三）兩個元素的和、積問題，除了用上述表格，還可采用以下表格。

例9．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，2數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是?搖?搖?搖?搖。

解析：所有可能的結(jié)果可用下表表示：

變式練習(xí)：分別在1，2，3，4和5，6，7，8中各取一數(shù)，積為偶數(shù)的概率為?搖?搖?搖 ?搖。

解析：所有可能結(jié)果用下表表示：

積為偶數(shù)的有12種，故所求概率為P==.

古典概型的教學(xué)大概需3課時，按上述方法教學(xué)后學(xué)生普遍掌握了古典概型的計算問題，有效地節(jié)省了教學(xué)時間，我認為此法也適用于其他專業(yè)文科類學(xué)生。