應(yīng)用均值不等式常規(guī)方法巧解競(jìng)賽題

摘 要： 均值不等式試題是歷年競(jìng)賽題的熱點(diǎn)內(nèi)容，利用均值不等式解題的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件，配合一定的轉(zhuǎn)化、變形、構(gòu)造技巧，這樣可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，收到事半功倍的效果。依賴(lài)常規(guī)方法，轉(zhuǎn)變解題思維，競(jìng)賽題也會(huì)迎刃而解。

關(guān)鍵詞： 均值不等式 常規(guī)方法 巧解 競(jìng)賽題

江蘇省一級(jí)刊物《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2005年第九期《美妙的構(gòu)造技巧——對(duì)偶法》一文，讓人耳目一新，感嘆其構(gòu)造之精妙，思維之獨(dú)到。文中涉及問(wèn)題多是競(jìng)賽題，作者通過(guò)構(gòu)造對(duì)偶式的方法，使問(wèn)題輕而易舉得以解決，給人啟迪。歷年全國(guó)乃至世界級(jí)競(jìng)賽題中涉及均值不等式的試題較多，考生上手比較困難，正確率低。為幫助考生解決競(jìng)賽中的實(shí)際困難，提高競(jìng)賽得分率，下面我用均值不等式常規(guī)方法巧解競(jìng)賽題中均值不等式試題。

定理（均值不等式）：若a＞0，b＞0，則有≥。

推論1：若a＞0，b＞0，且a+b=L（其中L為常數(shù)），則有ab≤（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取得最大值）。

推論2：若a＞0，b＞0，且ab=L（其中L為常數(shù)），則有a+b≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取得最小值2）。

由此可見(jiàn)，利用均值不等式解決問(wèn)題時(shí)一定要注意其成立的條件，即“一正，二定，三相等”，這三個(gè)條件缺一不可。

均值不等式及其推論是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，有著十分廣泛的應(yīng)用，它的證明比較容易，這里不再累述。

但值得注意的是學(xué)生對(duì)其理解和把握總感到困難，究其原因有三：第一，學(xué)生對(duì)均值不等式理解、掌握不到位，不能正確使用均值不等式；第二，由于許多能利用均值不等式解決的問(wèn)題往往比較抽象，學(xué)生想不到，沒(méi)有利用均值不等式解決問(wèn)題的意識(shí)；第三，往往能利用均值不等式解決的問(wèn)題，特別是競(jìng)賽題，通常需要轉(zhuǎn)化、變形，甚至構(gòu)造，而這些對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)要求很高，需要豐富的想象能力，這使得大多數(shù)學(xué)生望而卻步。

然而，一旦構(gòu)造成功，即使是基礎(chǔ)一般的學(xué)生，也可以看懂利用均值不等式解決的問(wèn)題。所以，利用均值不等式解題又總是讓人著迷。

例1：（第26屆獨(dú)聯(lián)體奧林匹克試題）

求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a＞1，b＞1都有不等式+≥8。

分析：原式左邊在a＞1，b＞1這一條件下，有a-1＞0，b-1＞0，所以可看成是兩正數(shù)之和，而右邊是常數(shù)，從而想到使用均值不等式。

證明：∵a＞1，b＞1

∴a-1＞0，b-1＞0

∴+（b-1）≥a①

+（a-1）≥b②

①+②得+≥8

當(dāng)且僅當(dāng)=b-1=a-1，即a=b=2時(shí)，取等號(hào).

例2：（第24屆全蘇競(jìng)賽題）

已知a，a，…a∈R，且a+a+…a=1，

求證：++…+≥。

分析：由于a，a，…a∈R，且a+a+…a=1，而所要求證的不等式右邊是常數(shù)，由已知不難發(fā)現(xiàn)=，從而對(duì)左邊施行均值不等式。

證明：∵+≥a①

+≥a ②

……

+≥a n

①+②+…+n得++…+≥成立，

當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a時(shí)，不等式取等號(hào).

例3：（亞太地區(qū)競(jìng)賽題）

已知a，a，…a∈R，b，b，…b∈R（i=1，2，…，n），且a=b，

求證：≥a

分析：由于a，a，…，a∈R，b，b，…，b∈R，不等式左邊每一項(xiàng)都可以看成正數(shù)，從而聯(lián)想到使用均值不等式。

證明：∵a，b∈R

+（a+b）≥a

從而有≥（a+b）≥a

又a=b

從而≥a.

點(diǎn)評(píng)：本題的證明聯(lián)想到均值不等式，注意到左邊每一項(xiàng)都有分母，從而考慮利用均值不等式去分母，使問(wèn)題得證。

例4：（第36屆IMO競(jìng)賽題）

設(shè)a，b，c∈R，且abc=1，

求證：++≥

證明：∵a，b，c∈R，且abc=1

∴==

同理：=，=

又+（+）≥①

+（+）≥ ②

+（+）≥ ③

①+②+③得

++≥（++）=（bc+ac+ab）≥=

從而原不等式成立（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)不等式取等號(hào)）.

點(diǎn)評(píng)：本題在此僅提供利用均值不等式的解法。

例5：已知x，x，…，x∈R且x+x+…+x=1（n∈N，2≤n）

求證：+++…+≥。

分析：由于已知x，x，…，x∈R且x+x+…+x=1

所以（1-x），（1-x），…，（1-x）均為正數(shù)，可以考慮利用均值不等式，去分母來(lái)證明。

證明：∵x，x，…，x∈R且x+x+…+x=1

∴x∈（0，1） （i=1、2、…、n）

∴+≥①

+≥ ②

……

+≥ n

①+②+…+n得

+++…++≥

從而：+++…+≥成立.

（當(dāng)且僅當(dāng)x=x=…=x=時(shí)取等號(hào)）

例6：若α、β、γ為銳角，且cosα+cosβ+cosγ=1

求證：cotα+cotβ+cotγ≥

分析：這是一個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的問(wèn)題，如果采用三角函數(shù)去化簡(jiǎn)，變形，問(wèn)題將難以解決，但如果注意到α、β、γ為銳角，不難得出：

sinα+sinβ+sinγ=2，故構(gòu)造平均值不等式加以證明。

證明：∵cosα+cosβ+cosγ=1

∴sinα+sinβ+sinγ=2

又設(shè)M=cotα+cotβ+cotγ=（++）-3

又：+sinα≥3①

+sinβ≥3 ②

+sinγ≥3③

①+②+③得++≥

從而M=cotα+cotβ+cotγ=++≥.

（當(dāng)且僅當(dāng)cosα=cosβ=cosγ=時(shí)取等號(hào)）

點(diǎn)評(píng)：本題得以證明的關(guān)鍵在于巧妙地構(gòu)造+sinα≥3①

+sinβ≥3 ②

+sinγ≥3 ③

運(yùn)用均值不等式，使問(wèn)題得以解決。

例7：（1990年日本CMO代表第一輪選拔題）

設(shè)x、y、z∈R且x+y+z=1

求：++的最小值。

分析：本題解法很多，但均值不等式的使用，使問(wèn)題輕松解決

解：∵x、y、z∈R且x+y+z=1

∴++=（++）（x+y+z）

=14+（+）+（+）+（+）

≥14+4+6+12=36

當(dāng)且當(dāng)y=2x且z=3x時(shí)，即x=，y=，z=時(shí)，++取得最小值36.

例8：（1998年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽題）

解方程：x=+。

分析：本題可采用對(duì)偶法解決，這里我給出一種簡(jiǎn)單常規(guī)解法。

解：設(shè)A=，B=，

則A+B=x①

A-B=x-1 ②

A-B=1-③

由①+③得2A=（X-）+1

從而2=（x-）+1，即（-1）=0

∴=1

解得：x=，x=（舍去）.

以上問(wèn)題的解決依賴(lài)于常規(guī)方法，可見(jiàn)，在我們平常的教學(xué)中，以通性、通法為主，追求一種樸實(shí)的作風(fēng)，讓學(xué)生感到不偏不怪，讓學(xué)生感到親切，感到數(shù)學(xué)就在身邊，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性是非常重要的。在新課程背景下，我們加強(qiáng)對(duì)通性、通法的研究，這無(wú)論是對(duì)指導(dǎo)教師教學(xué)，還是對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力，均具有重要意義。