逆向思維有助于解決數(shù)學(xué)問題

逆向思維是另類的思維方式，我們?nèi)绻苣撤N習(xí)慣勢力或心理定勢的影響，往往按某種思維定勢辦事，當(dāng)這種習(xí)慣性思路和實(shí)踐不能帶來預(yù)期的成果時(shí)，我們就應(yīng)嘗試其它途徑，而不應(yīng)該只顧搬用過去不成功的或不夠理想的做法，即摒棄習(xí)慣。運(yùn)用逆向思維來解決數(shù)學(xué)上的問題時(shí)，不僅可以成功解決問題，而且有助于大腦思維的發(fā)展。運(yùn)用逆向思維解決數(shù)學(xué)問題常體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

一、證明數(shù)學(xué)命題

這主要是指用間接法來證明數(shù)學(xué)命題。數(shù)學(xué)證明有直接證明和間接證明兩種，反證法（又稱為歸謬法）是間接證法的一種常用形式。在證明一個(gè)命題時(shí)，我們?nèi)舭l(fā)現(xiàn)無法直接證明或很難直接證明時(shí)，就應(yīng)想到用反證法去證明。這就體現(xiàn)了逆向思維的特點(diǎn)。而常常是這樣的思考，會將一些問題看得透徹，最終獲得成功。于是，反證法又被譽(yù)為是“數(shù)學(xué)家最精良的一種武器”。

那怎樣的命題常用反證法來證明呢？一般來說，具有以下特點(diǎn)的命題常用反證法來證明。

1.否定式命題。

例1.已知m、n為奇數(shù)，證明方程x+mx+n＝0沒有有理根。

證明：由于m、n為奇數(shù)，因此設(shè)m＝2k+1，n＝2t+1（k，t都為整數(shù)），

于是方程變?yōu)閤+（2k+1）x+（2t+1）＝0，

要證此方程無有理根，

只要證得判別式△不能在有理數(shù)范圍內(nèi)開方就行了。

其中判別式△＝（2k+1）4（2t+1），顯然△是一個(gè)整數(shù)，

∴△不能是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)的平方。

下面只須證明△也不是任何整數(shù)（包括偶數(shù)和奇數(shù)）的平方。

（運(yùn)用反證法）

（1）假設(shè)△是某一個(gè)偶數(shù)的平方，設(shè)△＝（2p）（p∈Z），

即（2k+1）4（2t+1）＝（2p）

∴4k+4k-8t-3＝4p

即k+k-2t-p＝3/4

由于左邊為整數(shù)，而右邊是分?jǐn)?shù)，于是產(chǎn)生矛盾。

（2）假設(shè)△是某一個(gè)奇數(shù)的平方，設(shè)△=（2p+1）（p∈Z），

即（2k+1）4（2t+1）＝2（p+1）

∴（2k+1）（2p+1）＝4（2t+1）

即（k-p+1）（k-p）=2t+1

由于等式左邊是偶數(shù)，而右邊是奇數(shù)，于是產(chǎn)生矛盾。

綜上可知，△不是任何整數(shù)的平方。

于是此方程沒有有理根。

∴此命題得證。

2.結(jié)論的反面較之結(jié)論本身更簡單、更具體、更易證的命題。

例2.證明：如果21是質(zhì)數(shù)，那么p也是質(zhì)數(shù)。

證明：假設(shè)p不是質(zhì)數(shù)，p=kt（k、t都是整數(shù)，且都不等于1和0），

21＝21＝（2）1

＝（21）［（2）+（2）+…+1］

由于后兩個(gè)因數(shù)是整數(shù)，其中任何一個(gè)都不等于1，也不等于0。

∴21一定不是質(zhì)數(shù)，于是產(chǎn)生矛盾，

∴原命題成立。

對于用反證法來證明時(shí)，要注意若結(jié)論的反面有多種情況時(shí)，要將各種情形窮舉出來，一一駁倒后才能肯定原命題成立。這種反證法有時(shí)被稱為窮舉歸謬法。

例3.已知：在△ABC中，BE、CF分別是∠B、∠C的平分線，且BE＝CF。求證：AB＝AC。

證明：如下圖1。如果AB≠AC，那么就有AB＞AC或AB＜AC，作平行四邊形BEGF。

（?。┘俣ˋB＞AC，那么有∠ACB＞∠ABC

∴∠BCF＞∠CBE

∵BF＝EG，BF＞CE

∴EG＞CE

連接CG，∠ECG＞∠EGC

但由于FC＝FG，∠EGC＜∠ECG

∴∠FCE＜∠FGE＝∠FBE

則有∠ACB＜∠ABC（自相矛盾）

由此，AB＞AC是不對的。

（ⅱ）仿此，可以證明AB＜AC也是不對的。

∴AB＝AC

利用反證法證明實(shí)際上是通過揭示這個(gè)命題的相反的判斷的錯誤來證明這個(gè)命題的，即是用證明題中命題的逆否命題正確，再因原命題與其逆否命題等價(jià)，所以得出原命題正確。

二、解決其它數(shù)學(xué)問題

主要是指間接解法。這常常在排列、組合、概率等問題中有廣泛的應(yīng)用。

即是：若要求得適合題設(shè)條件的數(shù)。不是去考慮如何直接得到它，而是先去研究那些不合題意（即不適合題中條件）的數(shù)，計(jì)算出這些數(shù)后，從總的數(shù)中（即符合題意和不符合題意的都算），拋去這些不合題意的數(shù)，就得到符合題意的種數(shù)。

例4．5男5女共10個(gè)同學(xué)排成一排。其中5名男生不排在一起，問有多少種排法？

析：若直接分類則較為復(fù)雜，可用間接法。從10個(gè)人的排列總數(shù)中，減去5名男生排在一起的排法數(shù)，得5名男生不排在一起的排法數(shù)為：

AAA＝3542400

例5.從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有多少種？

析：此題正面分析情形較多，若逆向思考，是轉(zhuǎn)化為總體中除去3個(gè)面兩兩相鄰的情形。

解：6個(gè)面中任意取3個(gè)，共有C個(gè)，其中3個(gè)面兩兩相鄰對應(yīng)于正方體的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，有8個(gè)。故所有不同的選法有C8=20-8=12個(gè)。

例6.已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)的概率為0.2。要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？

解：同樣用間接法可簡單得到：

1-（1-0.2）＞0.9

得到n＞10.3

∵n∈N

∴n＝11

∴至少需要布置11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機(jī)。

例7.設(shè)整數(shù)k不能被5整除，問xx+k能不能寫成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積？

證明：假設(shè)xx+k能寫成兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積，

則xx+k＝（x+a）（x+bx+cx+dx+e）

或xx+k＝（x+ax+b）（x+cx+dx+e）

若為前者，則-a為xx+k＝0的根，即（-a）+a+k＝0，

所以，這與題設(shè)矛盾。

若為后者，比較系數(shù)知a+c＝0，ac+b+d＝0，ad+bc+e＝0，ae+bd＝-1，be＝k。

由前三個(gè)等式知c＝-a，d＝ab，e＝2ab-a，

代入第四個(gè)等式得3ab+1＝a+b，代入第五個(gè)等式，

得k＝2abab

＝2a（3ab+1-a）-ab

＝5ab+2（a-a）

而a≡a（mod5），所以5∣k，這也與題設(shè)矛盾。

因此結(jié)論成立。

總之，運(yùn)用逆向思維來解決數(shù)學(xué)中的各種問題是非常有效的一種思考方式。它常常能使復(fù)雜問題的解答變得簡便。

參考文獻(xiàn)：

［1］譚光宙，丁家泰，趙素蘭.中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法.北京師范大學(xué)出版社.

［2］十三校協(xié)編組編.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法.高等教育出版社.

［3］陳傳理，張同君主編.競賽數(shù)學(xué)教程.高等教育出版社.

［4］劉遠(yuǎn)圖，黃建生，范振惠編譯.怎樣解數(shù)學(xué)題.地質(zhì)出版社.