如何應對高考數列問題

摘 要： 高考數列是一個難點，我省考生得分率較低。如何應對這一情況，本文從三方面進行了分析與論述。

關鍵詞： 高考數列問題 解決方法 教學體會

數列是高考的重點和熱點。我發現學生對數列及其相關概念的學習、理解是容易的，是有學習興趣的。但由于解決數列問題的方法多樣靈活，許多學生在高考時總是束手無策，即使是中檔題，我省考生平均分也很低，這不得不引起教師的重視。我就高考數列問題的解決方法談幾點教學體會。

一、夯實基礎，加深理解

高考作為一種選拔性考試，試題設置有容易題、中檔題、難度題。即使是有區分度的難題，那些基礎扎實的考生也能得分，故在常規教學中，教師應讓學生打下扎實的基礎，注重對等差數列、等比數列概念及其相關性質的教學，讓學生能充分利用等差、等比數列公式求解相應的基礎題、中檔題，力爭會解難度題。

如高考題：已知等差數列{a}中，前n項和為s，且s=100，s=10，求s的值。

很多考生由于對數列是等差數列，以及等差數列的性質理解不深刻，導致失分。事實上，只要學生基礎扎實，對等差數列性質理解透徹，由數列{a}是等差數列，則a=a+（n-1）d，a=a+（m-1）d，那么不難得出=d（其中n≠m，d為公差），同時也可從通項公式a=a+（n-1）d=dn+（a-d）理解，將直線方程與之類比，公差d正好是斜率，于是得到問題的簡單解法：由=，即=，從而解得s=-110。由此可見，夯實基礎，加深理解是何等重要。

二、注重學法指導，培養分析、綜合、歸納能力

學生對事物的認識遵循從感性到理性，由淺入深的規律。當學生對等差、等比數列的學習有了一定的基礎之后教師應對學法進行指導，加強分析、綜合、歸納的點撥，構建學生知識體系，提升學生認知水平，培養學生高考解題能力。

如：在學了等差等比數列通項公式后，師生對數列這一章進行反思、分析、綜合，最后可歸納出求遞推數列通項公式的一般思路和方法：

類型1：a-a=d（d為常數）

類型2：=q（q為常數）

類型3：a=λa+c（其中λ為常數且不等于0和1）

類型4：a-a=f（n）（其中f（n）可求和）

類型5：a=λa+f（n）（其中可求和）

類型6：a=a（其中a不為0，α∈R）

類型7：給S與a的關系，求出通項公式。

對于類型1、類型2它們分別是等差、等比數列，可按相應公式求出通項公式。

對于類型3：a=λa+c可設（a+x）=λ（a+x），

展開得a=λa+（λ-1）x，

從而令（λ-1）x=c，即x=，得（a+）=λ（a+），

即數列{a+}是以（a+）為首項，λ為公比的數列，

從而可求出a的表達式。

對于類型4：已知a-a=f（n）（其中f（n）為可求和），那么有：

a=（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+a，

即有a=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）+a，

這樣求出f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）+a，即可得a。

對于類型5：由a=λa+f（n）兩邊同時除以λ，得=+，

只要可求和，

那么得=（-）+（-）+…+（-）+=［++…+］+，可求和［++…+］+，

從而可得a。

對于類型6：已知a=a（其中a≠0，α∈R），則兩邊取對數得log=αlog（其中b＞0，且b≠1）。

那么數列{logb}是以log為首項，α為公比的等比數列，可求出a。

對于類型7：若給定S與a的關系，求通項公式a。

可通過a=s，（其中n=1時）s-s，（當n≥2時）求解。

三、加強變式教學指導，培養答題思維

近幾年來，高考解答題部分與數列問題相關的內容有一定難度，對于學生的學習能力、分析和解決問題的能力要求有一定提高，它不僅要求學生有扎實的基礎，而且要求學生善于聯想與轉化，能把一個新問題進行變式，轉化為熟悉的問題。認真分析近幾年高考的變化趨勢，教師應注重培養學生創新思維，加強學法指導，使學生能尋求解決問題的突破口和方法。

例6：（2007天津）在數列{a}中，a=1，且a=4a-3n+1（n∈n），

（1）證明：數列{a-n}是等比數列。

例7：（2008全國Ⅱ）設數列{a}的前n項和為S，a=a，a=S+3，

（1）設b=S-3，求數列{b}的通項公式。

例8：（2008四川卷）設數列{a}的前n項和為S，已知：ba-2=（b-1）S，

（1）證明：當b=2時，數列{a-n·2}是等比數列。

這幾道高考試題，對學生來說都有一定難度，如何找到解決問題的突破口和方法是教師與學生需要共同面對的問題。其實，在平時教學中我們如果能讓學生盡量多角度去思考，盡量尋求不同的解法，不斷創新，拓展思維，提高解題能力和創新能力，這類題就是小菜一碟。

經過認真的觀察和分析，不難發現以上問題都有一定的相似性，都是一個遞推關系，求解與之相關的另一個數列的通項公式或求證與之相關的另一個數列是等比或等差數列。在結構上有可類比之處。另外，已知和未知間有一定的暗示，我們不妨在“猜”與“湊”之間猜測解題的方向與突破口，把已知的遞推關系向所要求解的未知方向上轉化、變形，尋找他們的內在聯系，不失為一種科學的態度和方法。基于此：

例6：已知：a=1，a=4a-3n+1，未知：求證數列{a-n}是等比數列。

聯想：將數列{a-a}看作一個新數列，則它的第（n+1）項應為a-（n+1），

從而將a=4a-3n+1兩邊同時減去（n+1），

并化簡得［a-（n+1）］=4［a-n］，從而問題解決。

例7：已知：a=S+3，未知：求b=S-3的通項公式。

解題方向：變形、轉化出b=s-3

聯想：a=S+3，消去a用a與s的關系，

從而：s-S=S+3，即s=2S+3，

兩邊減去3得s-3=2S+3-3=2（S-3），

到此問題得解。

例8：把b=2代入已知得：

已知：2a-2=S，未知：求證數列{a-n·2}是等比數列。

猜想解題方向：將已知轉化、變形，

使之產生得（a-（n+1）×2），（a-n×2），（a-（n-1）×2）這樣的項。

故首先考慮消去S，用S與a的關系，則由2a-2=S……①

2a-2=S……②

將①-②得a=2a+2再兩邊減去n×2得a-n×2=2a+2-2=2（a-（n-1）×2），

從而數列{a-n·2}是等比數列。