在數形結合教學中訓練學生思維

摘 要： 數形結合的教學有利于提高學生的創造性，在數與形之間迅速轉換，是中國數學成功的典型代表之一，能夠滲透美育，數形互補，開拓思路，檢驗理論。

關鍵詞： 數形結合 訓練思維 創新 直觀教學

恩格斯說：“數學是研究現實世界的空間形式與數量關系的科學。”著名數學家拉格朗日也說：“只要代數與幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的運用就狹窄。當它們相伴而行，它們就會互相吸取新鮮的活力，以快速的步伐走向完美。”所謂數形結合，就是在研究問題的過程中注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質和數量關系聯系起來。數形結合在教學中應用廣泛，極有價值。

1.利用直觀性，激發興趣，培養思維的簡潔性

問題是數學的心臟，解決問題的數學思想和方法是數學的靈魂。數形結合能使復雜的問題簡單化，抽象問題形象化，尋找簡便易行、出乎意料、別開生面的解題方案，以調動學生的學習興趣，提高學生學習自覺性，從而使學生從題海中解決出來，真正減輕教與學的沉重負擔。憑借圖形能反映并思考客觀事物的空間形狀與位置關系，為學生學習減輕許多負擔，即運用形象思維去研究問題。美國數學家斯蒂恩說：“如果一個數學問題可以轉化為一個圖形，那么思想就全體地把握了問題，并能創造性地思考問題的解法。”

例1.已知集合A={ｘ|lg（ｘ-2aｘ+a+1）＜lg2}，B={x|（x-a）（x-2）＞0}，若A∪B=R，求a的范圍。

分析：按不等式知識解就必須分a＜2，a=2，a＞2分別求B集，再用A∪B=R分別求出a的范圍，最后求這些范圍的并集，而用數形結合就不必討論。

解：集合A可簡化為A={x|a-1＜x＜a+1}，令f（x）=（x-a）（x-2）＞0，

如圖1，不論y=f（x）的判斷式＞0還是=0，要使A∪B=R，等價為使f（a-1）＞0、f（a+1）＞0同時成立。由f（a-1）＞0f（a+1）＞0，得1＜a＜3。

2.滲透美育，喚醒學生的直覺聯想

數學本身是美的科學。數學上的對稱美、輪換美、簡潔美、和諧美、奇異美的特點在圖形上體現得更為直觀動人。教師利用數形結合能不斷培養學生審美情趣，感受審美體驗，提高審美意識和審美能力，以激起學生學好數學的激情，動力和追求解題的藝術美，喚醒學生的直覺聯想，促進全面素質的提高。解題時可以觀察圖形的特征及其數量關系，運用幾何意義探求數量關系，還可以構造幾何圖示顯示數量關系。下面舉個例子說明。

例2.正數a、b、c、A、B、C滿足條件a+A=b+B=c+C=K。

求證：aB+bc+CA＜K2（第24屆全美奧林匹克競賽題）。

分析：正方形DEFG，取點M、N、P、Q使MD=EN=B，QG=A，ME=NF=b，Gp=C，PF=c。顯然：S+S+S＜S，即aB+bc+CA＜K。

笛卡爾認為：“美是一種恰到好處的協調、適中。”上述解法正體現了這一觀點。“創新是一個民族的靈魂”，培養創造性思維能力是數學學科的基本任務。沒有想象和直覺，創造就失去了源泉。想象、直覺很多時候建筑在“幾何直觀”的基礎上，但是數與形是數學的雙翼，沒有數與形就會迷失方向，只有雙翼多羽，數學才會顯示其無窮的生命力。

3.數形互補，促進知識融會貫通，培養思維的深刻性

華羅庚說過：“數形本是兩相依，怎能分作兩邊飛。數缺形時少直觀，形少數時難入微。”集合中的韋恩圖將枯燥繁瑣的知識清晰、準確、生動地展示在學生面前，幫助學生牢固地掌握集合之間的包含、交、并、補等關系、運算。圖形語言是認識、理解其他語言的基礎，是形象思維向抽象思維過渡的紐帶，幫助我們理順方程解的一些邏輯關系，在劃分計數方面也有廣泛應用。如平移、旋轉各函數圖象，三角函數y=Asin（ωx+Φ）的圖像變化與函數解析式的對應關系。復數的幾何意義，復數運算的幾何解釋，將較抽象的概念具體地在復平面上表達出來，起到“深入淺出”的作用，使學生不必死記硬背，又減少了繁瑣的計算。我們在教學中仔細挖掘教材中抽象概念的直觀成分，不斷滲透數形結合思想，簡單明了，既能收到深刻理解基礎知識，促進能力發展，且不易遺忘之功效；又能提高學生自覺運用形數貫通，聯系的解題能力，收到事半功倍的教學效果，從而提高學生數學素養。

4.開拓思路，培養思維靈活性，敏捷性

數形結合是研究解題的基本思想，無論是以形想數，還是以數助形都能溝通知識聯系，開拓思路，使問題變得簡單化，形象化，從而使問題快捷正確地得到解決，訓練學生思維敏捷性、靈活性。

例3.解不等式＜2x+a（a＞0）。

分析：函數y=2x+a的圖像是直線l，而y=的圖像是圓O的上半部分，由此易知當0＜x≤a時，＜2x+a即原不等式解集為{x|0＜x≤a}。

5.檢驗理論，培養學生思維的嚴密性，批判性

解題反思，對過程和結果進行檢驗，一方面能提高解題的效果，另一方面也是在進行思維的訓練，形數結合不單具有直觀聯系，而且有嚴密的邏輯性。數形結合還能有助于找出解題的漏洞，從而加強學生思維的主動性、嚴謹性、批判性。

例4.已知橢圓系x+=a（a＞0）與連結A（1，1），B（2，3）兩點的線段沒有公共點，求a的取值范圍。

錯解：由線段AB及橢圓方程聯列消去y，得6x2-4x+1-2a2=0，因為AB與橢圓無公共點所以△＜0解為0＜a＜，

通過作圖，盡管直線AB與橢圓相切或相交，但線段AB與橢圓還是無公共點，因此方程無解。

正確解：將分別過A，B點的兩個橢圓中的a值，求出a=（AB在橢圓外）和a=（AB在橢圓內），所以0＜a＜或a＞時，AB與橢圓無公共點。

6.發掘知識內在聯系，培養辯證思維的能力

如果將換元、設參的手法活用，數形結合能使學生豐富、精確、深刻地理解知識內在聯系，鍛煉分析問題、解決問題的能力，培養學生的辯證思維能力。

例5.求函數w=+的最小值。

解：函數定義域為［-2，1］，令x=，y=（-2≤m≤1）。消去參數得（x/3）+（y/6）=1（0≤x≤，0≤y≤）。而表示橢圓（x/3）+（y/6）=1在第一象限一段弧（包含端點）。w=x+y表示平行直線系（w表示縱截距）。顯然，當直線過A（，0）時，直線與曲線有公共點，且此時W有一最小值，W=。