例談數形結合思想

摘 要: 本文從解析幾何的三種模式，即斜率、截距、距離出發，通過具體的例子及其變式，結合具體的圖形，來解決函數的求最值問題。

關鍵詞: 數形結合思想 解析幾何 求解最值問題

自17世紀大哲學家笛卡爾發明坐標系以后，代數和幾何這兩個在這之前獨立發展的數學分支便從此有機地結合在了一起，帶來了數學史上的巨大變革。從此數學發展日新月異，而數形結合的思想方法也成為了數學學科中一種非常重要的思想方法之一。下面我從數形結合思想出發，談談如何利用解析幾何中的方法求解最值問題。

求最值問題是數學中一個非常重要的專題，其方法非常多。而解析幾何中的思想也是非常重要的，其中一些概念和公式更是被廣泛應用，如:斜率、截距、點與點的距離公式、點到直線的距離公式、直線與直線的位置關系、直線與圓的位置關系，這些都被廣泛運用，而且通常是非常簡單、非常具有技巧性的方法，這些解法很多時候能讓學生有一種茅塞頓開、豁然開朗的感覺，能讓學生感覺到數學的奧妙與博大精深，迅速提升學生對數學的學習興趣。

一、斜率模式

解析幾何中的斜率是這樣定義的:當x≠x時，斜率k=。因此，對于分式的形式，視情況可以將其轉化為斜率的形式。

例1:如果實數x、y滿足(x-2)+y=3，求的最大值。

分析:條件中的方程在解析幾何中表示圓，而=，即表示圓上的點與原點的連線的斜率。如圖1，易得此斜率的最值應是該直線與圓相切時取得，易得最大值為。

如果利用數學選修教材中的圓的參數方程，即x=cosθ+2y=sinθ，就有如下變式:

變式1:求函數y=的值域。

分析:可變形為y=，也可變形為y=。

若將sinx與cosx的關系表示出來，即可得如下變式:

變式2:求函數y=的最大值。

分析:可設x=cosθ，則有y=，即轉化為變式1-1，但與之相區別的是θ∈[0，π]，這是后者所沒有要求的。因此其幾何意義就不能完全用圖1來表示，而應該是個半圓。

變式2:求函數y=的值域。

分析:函數變形為y=，即表示點(sinx，sinx)與點C(-，)的連線的斜率。如圖2，由于sinx∈[-1，1]，可得點(sinx，sinx)是線段AB上的動點，易得經過點C的直線l、l的斜率分別為3和，可知原函數的值域為(-∞，]∪[3，+∞)。

變式3:求函數y=的值域。

分析:y=，表示點(x，x)與點(1，-1)的連線的斜率，而點(x，x)是拋物線y=x上的動點(x≠1)。如圖3，直線l與l是拋物線的切線，設切點為(x，x)，則由導數知，斜率為2x，則切線方程為y-x=2x(x-x)。將點(1，-1)代入，得x=1±，直線l與l的斜率即為2±2。因此原函數的值域為(-∞，2-2]∪[2+2，+∞)。

注:本題也可用判別式法或者基本不等式法來解決，也很方便。

可以發現，例如y=、y=、y=這樣的函數，都可以用上述的方法來求值域。

總結:形如u=(a，b，c，d是常數)都可變形為u=·，利用函數y=f(x)的圖像上的點與點(-，-)連線的斜率來解決問題。

二、截距模式

設直線方程為y=kx+b，或x=ky+b′，則b和b′即分別為縱截距和橫截距。

例2:若x+y=5，求2x-y的最值。

分析:設b=2x-y，則有y=2x-b。如圖4，即為動直線l，由于(x，y)在圓x+y=5上，因此，直線l應與圓有公共點，因此b∈[-2，2]，即得2x-y的最值。

變式1-1:求函數t=x+的值域。

分析:若令y=，原題變為:若x+y=1(y≥0)，求t=x+y的值域，即轉化為例2，所不同的是x+y=1(y≥0)表示的是x軸上方的半圓，很快得到結果為[-1，]。當然此題也可用三角換元的方法，也非常方便。

變式1-2:求函數f(t)=-2-的最值。

分析:令=x，=y，則x+y=4(x≥0，y≥0)，且f(t)=b=-2x-y。與上題又不同的是這里是四分之一圓。方法同上，易得結果為[-2，-2]。

這是以圓作為背景的，當然也可以以橢圓作為背景:

變式2:設a、b∈R，a+2b=6，求a+b的最小值。

分析一:設t=a+b，則b=-a+t，即為動直線l，且應與橢圓a+2b=6有公共點，聯立方程組消去b，利用△≥0，可得t∈[-3，3]，因此a+b的最小值為-3。

分析二:令b=c，則變式2即轉化為例2，即以圓為背景。

按例2的變化得下列兩個變式，方法同上:

變式2-1:求函數y=x+的最小值。

變式2-2:求函數u=+。

三、距離模式

例3:函數y=+的最小值。

分析:原函數可變形為:y=+，其幾何意義就是點(x，0)與兩點(1，1)和(3，2)的距離之和，易得距離之和的最小值為(1，1)和(3，-2)的距離，即2。

變式3:求函數y=x+的值域。(2001年全國高中數學聯賽試題)

分析:原函數變形為:y=-(-x)，不妨設C:y=，C:y=-x，整理得C:(x-)-y=(y≥0)，C:y=-x(x≤1或x≥2)。易知C為雙曲線的x軸上方部分，本題即為求C與C對應x的點的距離差的范圍。如圖7，由于本題中的距離是“豎直”的，因此原函數的值域為[1，)∪[2，+∞)。

參考文獻:

[1]斯理炯.高中數學競賽專題講座——解析幾何[M].浙江大學出版社，2007.

[2]蔡小雄.更高更妙的高中數學思想與方法[M].浙江大學出版社，2009.