加強解題反思,發展元認知能力

元認知就是對認知的認知，即指人們對認知活動的自我意識、自我控制和自我調節。它具體包括三方面的內容:“一是元認知知識，即人們關于認知個體、認知任務和認知策略等方面的知識;二是元認知體驗，即伴隨著認知活動產生的認知體驗和情感體驗;三是元認知監控，即人們在認知活動過程中，不斷地對自己的認知活動進行監控，并相應地對其加以調節，以達到最佳的認知目標。”

一

在數學解題過程中，主體不僅是對數學材料的感知、記憶、思維和想象的認知過程，而且是通過自我意識，對該認知過程進行積極監視、控制和調節的元認知過程。數學能力涉及認知過程中的有關能力，而實際上數學認知過程進行的有效性如何，依賴于元認知過程運行的水平的高低，如對策略的選擇和對策略效果的評價，及時反饋和對該過程的進程、方向、結果的評價、控制、調節。元認知能力直接影響數學學習的優劣和學習進程的快慢，對解題起到指導、支配、決策、監控的作用，具有非常重要的意義，因此我們在教學中要注意培養學生的元認知能力。

然而在實際教學中，教師易受到“題海戰術”和“熟能生巧”觀念的影響，未能對元認知能力和發展水平給予足夠的重視。學生的元認知往往受到不同程度的抑制，基本上停留在自發性的水平上，而其中對元認知能力的培養中較好的一種方式——解題反思往往忽略。在教學中，有些學生在解題時，題目一旦獲解，就匆匆去解決下一個問題，同時心理上產生成功的滿足，即使進行復看和檢驗，也只停留在“結論對錯”上，忽視了解題后對解題過程的分析、評價、反思、總結等，這樣做學生便失去了學會解題的最寶貴、最有效的機會，也極易導致解題心理封閉，這是造成這部分學生“悟性慢”，僅僅停留在知識型的水平上，很難形成較強的解題能力的根本原因。

二

從元認知的觀點看來，思路初步打開，解題剛剛完成，體現了認知，而進行解題過程的分析就是對認知的再認知，是對認知的自我意識、自我調控和自我超越。實際上，題目的初步求解只不過是實現了信息向大腦的線性輸入，只不過是為進一步的提高準備了材料基礎，真正有價值的、體現學習者主動的創造性的工作還是將歷時性的線性材料組織為共時性的立體結構。這時，打破輸入順序的材料會呈現出更本質、更廣泛的聯系，新輸入的材料與已儲存的材料之間也會構成更本質、更廣泛的組合，從而揭示數學內容的更內在的邏輯結構和更直截了當的關系。所謂解題，無非是尋找數學內容之間的聯系，有意識地“將歷時性的線性材料組織為共時性的立體結構”的過程，就是自覺地培養解題能力的過程，也是解題能力迅速生長的過程，其實質就是元認知能力發展的過程。

在解題反思過程中，主體對什么因素影響自己在認知解題中的過程與結果，這些因素是如何作用的，它們之間是如何相互作用的各種認知，這本身就是對元認知的知識的認知。在解題反思過程中，主體對問題解決的策略的思考，可以使主體產生對學習策略的認識，如哪些策略可以利用，它們各有什么缺點，應用時各需要什么條件，其中哪些是首要策略，哪些是必備策略，怎樣具體運用這些條件等，此過程正是對元認知能力的培養。在解題過程中的成功與失敗，伴隨認知活動而產生的認知體驗和情感體驗等，需要為學生提供更多機會和時間去思考和體驗，因而解題后的檢查和評價是這一體驗升華的關鍵。解題后對問題的反思是對思維過程的重新審視，對思維過程中的嘗試、反饋、迂回等進行重新評價，為下一次的思維過程提供調控經驗。反思是發展數學思維的一個重要方面，是一個思維活動過程的結束，并包含另一個新的思維活動過程的開始。

所以，教師要重視知識發生發展的過程，要有意識地引導學生參與教學活動，特別是要在教學過程中增添一個“反思回顧”環節，創設諸如:“你是怎么想的，為什么這樣想?”“你為什么作出這樣的選擇?”“你選擇是否是最佳?”“知識之間有什么聯系、如何聯系的?”等情境，教給學生元認知知識，在暴露自身認知水平的過程中培養其元認知意識。學生要在解題后進行解題思路的探求和解題過程的反思，應該抱著一種信念:“沒有任何一道題是可以解決得十全十美的，總剩下一些工作要做，經過充分的探討和鉆研，我們就能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。”(波利亞:《怎樣解題》)題目初步獲解后，回過頭來進行解題反思，會達到“會當臨絕頂，一覽眾山小”的境界，而且其真正價值體現在登頂后對美景的欣賞和對登山過程的體驗。

三

如何進行反思才能將解題的價值發揮到極致呢?我總結出反思十條，具體闡述了解題后的反思過程。

1.整理解題過程

問題獲解后，整個過程此時是模糊的、膚淺的，回顧整個思維過程，檢查得失，從而使解題過程清晰化、條理化、簡單化，并為進一步反思提供充分的材料。學生從解題過程中的成功與得失，體味數學學習過程中的情感因素，積累元認知知識和元認知體驗。

2.整理知識點

將解題過程拆分為一些單元，總結用到了哪些知識，使用了哪些方法，它們之間是如何組合在一起的，使新知識與已有認知結構中的相關知識建立橫向聯系，并概括出帶有普遍性的規律，從而推動同化、順應的深入，使知識系統化。

3.理解方法與結構

按照問題解決中推理的邏輯路線，依據它們之間的邏輯聯系，將所涉及到的各種意義要點聯系起來，并將它們與作為其基礎的原理聯系起來，與相關的背景經驗聯系起來，與探索中的各種事實資料聯系起來，從而形成良好的知識結構，合理地總結解題方法，評價解題方法的優劣。

4.尋求關鍵點

從解決問題的過程中提煉出最本質的步驟，找到解決問題的關鍵點，思考尋找此關鍵點的思維過程和策略，提煉其本質含義，為下一思維過程做好知識的準備。

5.總結發散度

回顧解題的思維過程，注意發現哪些信息是多余的，哪些信息是淺嘗輒止、半途而廢的，哪些思維是迂回的，哪些過程是可以簡化的，哪些過程是可以另辟蹊徑的，等等。這是解決問題思維的發散度，為下一次思維調控積累經驗，從而培養元認知調控能力。

6.分析解題障礙

俗話說:“吃一塹，長一智。”解題過程中必然會遇到思維的障礙，只有找到造成思維障礙的因素，探索在解題中如何調整方向，如何進行思維調控，才能突破障礙，為下一次思維提供更為明確的思維方向。

7.聯系相似題型

在問題解決的過程中，學生應先對當前問題的條件和目標進行確認，聯想以往相關的知識經驗，以及在此基礎上所進行的推理、假設和檢驗等，再歸納題型，總結規律，最后進行解題。

8.發現解題漏洞

發現解題中的不完整、不全面、遺漏等，避免今后解題時類似的錯誤的繼續發生。

9.更新解題方法

重新審視解題的信息，更換條件的思考角度，對知識鏈上的知識內容作多角度的理解，以開辟新的解題思路，從而加深對數學原理、通性通法的認識。同時，將新方法和基本原理與相關知識聯系起來，與事實資料聯系起來，將新策略與問題特征聯系起來，實現知識經驗的整合。

10.概括一般方法

回顧問題的結構特征及其解決過程，再現、抽象出其中的意義要點，從過程中概括出原理性知識，使各種意義明確化。可以用更一般的原理去代替現存的許多步驟，并從這一過程中提煉出其中所包含的新理解或新策略，在適當水平上概括出其一般意義，提高整個解題的觀點和思維的層次性。

總之，學生“應當學會這樣一種對待習題的態度，即把習題看作是精密研究的對象，而把解答習題看做是設計和發明的目標” (弗里德曼語)。學生通過解題過程的分析而學會解題，就是通過已知學未知，通過有限道題的學習去培養解無限道題的數學機智，積極主動地發展元認知能力，進行深層次的建構。