電表讀數誤差分析和有效測量范圍確定

用任何儀器測量物理量都不可避免地存在誤差，正確使用和操作儀器是實驗教學中的重要環節。電壓、電流和歐姆表是最為常用的電學物理量測量儀器。本文著重討論電表的誤差分析和有效測量范圍。

一、電流、電壓表的誤差分析和有效測量范圍

1.表盤刻度的角線性原理

一般機械式電壓、電流表的核心部件是磁電式電流計，如圖1所示，主要是由蹄型永磁鐵、矩形線圈、螺旋彈簧、柱形軟鐵和刻度盤等組成。矩形線圈纏繞在柱形軟鐵的側面上，柱形軟鐵中心有固定轉軸;指針尾端和螺旋彈簧的一端都固定在轉軸上，隨線圈和軟鐵的轉動而轉動。彈簧的另一端固定在機械樁上。由于軟鐵的良導磁作用，在軟鐵與永磁鐵之間形成均勻的輻狀磁場，距轉軸等遠處的磁感強度大小相同。無論線圈轉動到任何位置，線圈的a、b邊和c、d邊 (圖1中c、d未畫出)，均與磁場垂直，且磁場方向與線圈平面平行，從而保證了線圈中有電流時，安培力所產生的力矩驅動線圈轉動到任何位置的力臂不變;同時彈簧發生形變，產生扭力矩。當彈簧扭力矩與線圈安培力矩達到平衡時，線圈靜止不動，指針穩定在一確定的位置。從刻度盤上可以讀出示值，該示值可以是電流I，也可以代表電壓U(U=RI，R是線圈內阻即電流計內阻)。螺旋彈簧滿足胡克定律，扭力矩M= kθ，平衡時又有M=M，所以M= kθ。又線圈側邊受力力臂不變，設ab邊長為L，b、c邊為L，線圈匝數為N，可以得出NBILL=kθ。由于N、B、L、L和k都是定值，所以I∝θ，即電流強度與指針偏轉角度大小成正比。在一定的偏轉角內，直流電流和電壓表的刻度隨偏轉角度的分布是均勻的。考慮到邊界磁場不一定均勻，一般電表指針的滿偏角度不大于90°。圖中所表示雙向偏轉情況，如果單向偏轉，可以從圖中逆時針偏轉45°作為起點。大量程的電流或電壓表都是利用改裝原理實現擴程，不改變表頭的這種基本性質。

2.讀數誤差分析

電表在設計制造時會因機械工藝、軸摩擦、材料等影響反應靈敏度，由此可以說制作存在系統誤差，而且隨使用時間延長，造成磁鐵老化、機械磨損加重等因素使系統誤差增大。另外電表刻度線有粗細，在進行測量時，讀數還會存在視差，由此會產生偶然誤差。如果把各種誤差集中反映為指針偏角的絕對誤差，記為Δα，與角度誤差對應的是讀數誤差，這個誤差在任何角度處都是相同的。其絕對誤差記為ΔN(ΔN可以是電流或電壓)。ΔN的大小除與電表精度有關外，還與電表的量程有關，即使對同一只表，如果有不同的量程，則各量程的ΔN就不同，而且呈同比倍數關系。設指針最大偏角為90°，量程選用A，則ΔN=×A=kA(令k=)。這說明量程越大，ΔN越大。測量精確程度通常用相對誤差反映，設待測電學物理量的真值為N，則相對誤差為?誽=×100%。

以測量電壓為例，比較不同量程的相對誤差。設待測電壓為2V，如果用3V量程，指針指在2/3滿偏角度位置，則ΔN=k×3V，相對誤差?誽=×100%。如果用15V量程，指針偏轉角僅為滿偏角度的，則ΔN′=k×15V，對應相對誤差為?誽′==5?誽，即用15V量程的相對誤差是用2V量程時的5倍。顯然，選用量程過大，致使指針偏角太小，會增大相對誤差。而用15V量程測10V電壓與用3V量程測2V電壓相比，指針都偏在滿偏角度的2/3的位置，產生的相對誤差就是相等的。由此可見，在使用電壓表或電流表時，選用量程應盡可能使指針的偏角大些，這樣相對誤差較小。一般選擇量程的原則是使測量值在(—1)量程范圍內，即偏角不小于滿偏角度的1/3，對于一個精度①為2的電壓表來說，這個范圍能保證測量值的相對誤差不超過6%。

二、歐姆表的誤差分析與有效測量范圍

1.歐姆表盤刻度的非線性

由于用歐姆表測電阻的原理是依據閉合電路歐姆定律:I=，當R=0時，電流最大，指針滿偏; R增大時，電流I減小。如圖2所示，函數I(R)圖線是反比例曲線，兩條漸近線是R軸和直線R=-R的一條豎直線，即縱軸沿-R軸平移R。這種非線性關系，在電阻越大時，單位電阻引起的電流變化越小，從函數圖像中容易看出這一點。對應的歐姆表盤的電阻值的刻線，自滿偏開始沿逆時針方向單位角度的電阻值越來越大，如圖3所示。

如果中值電阻是40Ω的歐姆表，不難求解出，在滿偏電流(最大偏角)的處的刻度值是20Ω;80Ω的刻度值對應在滿偏角度的處。由此還可以得出，凡兩個刻度值R、R的乘積滿足R×R=R，則R、R的刻線位置位于中值電阻刻線左右兩側，且關于中值刻線角對稱。

2.歐姆表讀數誤差分析測電阻的讀數范圍

歐姆表機械表頭的偏角絕對誤差起因與電流、電壓表是相同的，都是由于機械設計、制作工藝、刻線等引起的電流不準確產生的，但是電阻值刻線的非線性，因此讀數的絕對誤差和相對誤差就完全不同。在不同的偏角處的絕對誤差是不相等的，相對誤差也不同于電流、電壓表越接近滿量程誤差越小。定性來看，如果選擇倍率偏小，指針偏轉角就小，單位角度電阻值ΔR也大，即讀數的絕對誤差大，但此時電阻值R本身也較大;如果選擇倍率過大，指針偏轉角大，此時絕對誤差和電阻值都小，因此不能簡單地比較出相對誤差大小。在測量時，讀數最佳位置應是相對誤差最小的位置。相對誤差大小與指針偏角關系如何呢?

現用微分法討論相對誤差。對上面全電路歐姆定律式兩邊取微分，dI=-dR，式中dI與指針偏角誤差da相對應的(與上面討論相同可以認為是各種原因引起的系統誤差偶然誤差之和)，對一個確定的表和人為操作，這個值是不變的。為簡單起見dR是對應的測量絕對誤差。則相對誤差為?誽=×100%=·=·(+)≥·4R=，其中I=表示滿偏電流，且僅當R=R時，相對誤差有最小值。這一結論表明，歐姆表使用中讀數在中央位置附近時測量最為精確。考慮到實際使用中允許讀數有一定跨度范圍，所以，使用歐姆表時，選擇倍率應盡可能使讀數靠近中央刻度，如果偏角太大或太小，都會使測量相對誤差偏大。合理的選擇一般取

注釋:

①電流、電壓表的精度定義為×100%。

②歐姆表的精度最高是在指針半偏時，按電流、電壓表的誤差分析，此時誤差恰是指針滿偏誤差的2倍。

參考文獻:

[1]北京大學.《普通物理實驗》講義.