平行四邊形在復數中的應用探究

在學習了復數的幾何意義后，我們知道復數在復平面中與點、向量構成了一一對應關系，這樣很多復數的問題就可以轉化成平面向量的問題，而復數的模就對應向量的模，即有向線段的長度。本文就以下幾個復數的模|z|、|z|、|z+z|、|z-z|之間的關系作初步探究。

我們先來學習一個在平面幾何中的結論。

【結論】如圖，在平行四邊形ABCD中，有AC+BD=2(AB+BC)。

【文字表述】平行四邊形的兩條對角線長的平方和等于它四條邊的平方和。

【簡證】

在△ABC中，由余弦定理可得:AC=AB+BC-2AB·BC·cosB(1)

在△ABD中，由余弦定理可得:BC=AB+AD-2AB·AD·cosA(2)

又A+B=π，所以cosA+cosB=0。

則(1)+(2)得AC+BD=2(AB+BC)。

【運用】

現在作出復數z、z在復平面中對應的向量OZ、OZ，如下圖所示，那么由平面向量加減運算的平行四邊形法則和三角形法則可知，在以OZ、OZ為鄰邊的平行四邊形OZZZ中，表示復數z+z，ZZ表示復數z-z，此時這四個復數的模即為該平行四邊形的兩條邊和兩條對角線長。那么由上面的結論可得。

|z+z|+|z-z|=2(|z|+|z|)(*)

今后在解選擇填空題時我們可直接運用該公式實現快速解答，如:

例1.已知z，z∈C，|z+z|=2，|z|=，|z|=，則|z-z|=()。

A.1B.C.2D.

解析:代入公式(*)易得，|z-z|=。

【引申】

在平行四邊形OZZZ中，若|z|=|z|，即鄰邊相等的平行四邊形，故四邊形OZZZ為菱形;

若|z+z|=|z-z|，即對角線相等的平行四邊形，故四邊形OZZZ為矩形;

若|z|=|z|且|z+z|=|z-z|，故四邊形OZZZ為正方形。

例2.A，B分別是復數z，z在復平面上對應的兩點，O為原點，若|z+z|=|z-z|，則△AOB為 。

解析:由上述結論可知，OA⊥OB，即△AOB為直角三角形。