尺規作圖對學生平面初等幾何學習的影響分析

摘 要: 尺規作圖是初等幾何教學中重要的一環，它影響到學生的幾何學習。本文作者對初等幾何教學中尺規作圖對學生幾何學習的影響進行了調查分析，并對尺規作圖的教學提出了一些建議。

關鍵詞: 幾何教學 尺規作圖 幾何學習 影響

1.引言

尺規作圖如今在幾何教學中是一個正在日益受到重視的教學領域。它的使用對于初中平面幾何的影響及意義越來越顯著。在幾何里，把限定用直尺和圓規來畫圖，稱為尺規作圖。雖然尺規也是畫圖工具，但尺規作圖不同于用工具畫圖，尺規作圖只限于用無刻度的直尺和圓規，直尺用于根據兩點的位置作直線、射線、線段或作延長線，圓規用于根據圓心位置、半徑大小作弧或圓。所以作圖題都應用直尺或圓規作圖，而不能把用三角尺畫直角、畫平行線等當作尺規作圖。尺規作圖需按一定的公法來進行，作圖公法能確定三種簡單的作圖。能有限次地進行作圖公法所確定的三種簡單作圖，從而最終可以得到給定條件的圖形，這一類作圖題稱為尺規作圖可能問題。反之，凡有限次地進行作圖公法所確定的三種簡單作圖肯定不能得到給定條件的圖形，這一類作圖題就稱尺規作圖不能問題。用尺規作圖法可以完成的最基本作圖有如下五種:(1)畫一條線段等于已知線段;(2)畫一個角等于已知角;(3)畫線段的垂直平分線;(4)過已知點畫已知直線的垂線;(5)畫角的平分線。而根據這種最基本作圖又可以用尺規完成下列關于三角形的圖形的基本求作:已知三邊作三角形，已知兩邊及其夾角作三角形，已知兩角及其夾邊作三角形，已知底邊及底邊上的高作等腰三角形，已知一直角邊及斜邊作直角三角形。在些基礎上，人們就可以進一步進行尺規作圖的擴展。

用尺規法畫圖十分方便，尺規作圖不僅僅工具簡單，使用方法也最簡便，免去了度量，準確度更高。這種只限于用尺、規，作出符合一定條件的幾何圖形，無疑是一種很強的約束力，這種約束力要求學習者具有較強的數學思維能力和操作能力。這種約束力在幾何理論學習和研究上有一定的科學價值。[1]尺規作圖具有的這種約束力，在幾何學上可以訓練學生嚴密的邏輯思維能力，激發學生的學習興趣，培養學生的嚴謹的工作態度，對學好初等幾何具有深遠的意義。

2.尺規作圖對學生幾何學習的影響

2.1研究目的

由于一個人的幾何學習能反映出一個人的數學思維方面的主要活動。它能反映出一個人的數學學習的觀察力，影響他對數學學習的興趣、動機和動力，決定著他用幾何處理實際問題的能力。當前的新課程標準對傳統幾何能否轉到直觀的位置上非常注重。未來的幾何學習應當重視以下四個步驟:直觀感知—操作確認—思辨論證—度量計算。但在中國的幾何教學，把前兩個步驟忽略了，變成純粹的思辨論證，以及論證基礎上的計算。缺乏直觀，實際上就扼殺了幾何。[2]有人曾經說:“幾何教學的作用是培養學生的理性思維能力。”是的，但我們在教學中卻不能死板、教條，不能只停留在理性思維上，要讓學生學會獨立思考的意識，要使每一個學生都有探索真理的勇氣，敢于實踐、敢于創造、敢于發明、不守成規，在創新中發展，在發展中創新。可以說，幾何中的尺規作圖是讓學生從經驗提升到理論上來的重要途徑，能讓學生從中舉一反三，同時這也是數學幾何教學中難得的實踐活動。這項活動開展得好，對學生的幾何學習是難得的，是非常有益的，對學習幾何會產生深遠的影響。為充分認識幾何教學中尺規作圖的教學對學生幾何學習的影響，我進行了為期近一年的對比實驗研究，現將研究過程與方法列出如下。

2.2研究方法

根據研究目的，在2005年9月，我選擇了下列兩班作為被試的對象:

實驗班:2005級藥學高職(1)班

控制班:2005級藥學高職(2)班

其中:兩個班的學習成績情況基本相當;實驗班和控制班是隨機選定的;這兩個班的數學幾何教學由我一人承擔。

2.3實驗過程

2.3.1首先在幾何學習開始初期對這兩個班的學生的數學成績進行測試。

統計出二班學生的成績統計表如下。

2.3.2對兩個班學生在幾何學習方面的一些情況進行問卷調查。

設計出如下的調查問卷。

(1)你對幾何學習的興趣是()。

A.非常感興趣 B.比較感興趣 C.一般興趣 D.不感興趣

(2)你對自己幾何學習方法的自我評價是()。

A.很滿意 B.比較滿意 C.不滿意 不知道

(3)你認為學好幾何的標準是()。

A.會證明幾何題 B.不僅學會看而且學會畫圖

C.有較強的邏輯思維能力 D.其它

(4)你對尺規作圖的感受是()。

A.枯燥乏味

B.能提高自己的理性思維能力

C.從作圖中得到了美的享受

D.平時作圖的實踐太少

對兩個班的學生問卷調查作出如下統計表。

從上面的調查問卷中可以看出，兩個班學生在幾何學習期初對幾何學習的興趣與認識方面差別不大，數學課程的學習成績無明顯差距。

2.3.3結合幾何教學的內容，有計劃地進行幾何尺規作圖的訓練。

一學年來，在數學中關于幾何教學的主要內容有:點、線、面、線段、直線、射線、平行與垂直、角、三角形的全等、四邊形。在本學年的幾何課堂教學(每周四學時)中，在控制班，我以大綱要求掌握的基本作圖及一些三角形的作圖為主，沒有講解訓練其它的關于幾何作圖的相關知識，而以解題及證明為主的練習代之。而在實驗班的幾何課程的教學中，我首先將基本作圖進行擴展，將以下作圖類型也擴展為基本作圖:(1)作已知三角形的外接圓、內切圓、旁切圓;(2)以定線段為弦，作一含已知角的弓形弧;(3)從圓上或圓外一點作已知圓的切線;(4)n等分已知線段;(5)內(外)分一已知線段，使得所得線段的比等于兩已知線段的比;(6)作三條已知線段的第四比例項;(7)作一線段等于兩已知線段平方和(差)的算術平方根;并以這些為基礎，增加訓練上述基本作圖及擴展后的基本作圖之外的有關幾何作圖方面的知識，通過對這些作圖的訓練，拓展學生的思維的能力。例如，在會作已知銳角α的平分線的基礎上，訓練實驗班學生思維擴展到能迅速作出:(1)作已知直角的平分線;(2)會作22.5°的角;(3)作已知鈍角的平分線;(4)將已知角四等分;(5)作15°的角;(6)拓展到一些實際問題。例如已知公路AB和CD，準備在兩公路間修一條高速公路，與兩公路始終保持等距，試畫出高速公路示意圖。由上例可以看出，我們在該班尺規作圖的試題教學中進引各種變化，但歸根結底，卻又回歸到基本作圖，讓學生在學習中要抓住基本作圖的“精髓”，然后進一步的深化與提高，從而把較復雜的作圖題轉化到基本作圖上來，能充分打開學生學習幾何的思路。

同時，在對實驗班的幾何作圖教學中，我還十分重視對所作的圖形的證明和討論;而在控制班，這方面重視相對偏弱些。在證明所作的圖形為正確的過程中，讓學生充分認識到作圖題證明和普通證明的區別所在，在作圖題的證明過程中，特別要注意運用已知條件和在作圖中創設的條件。在討論部分，專門研究作圖是否有解，有幾個解，在不同條件下，各有什么結論，同時對不同條件下有不同結果的作圖讓學生詳細寫出作圖的過程，并畫出不同條件下各自的圖形。在這樣的過程中，學生的辨別能力得到了訓練和提高，對比分析能力得到了加強，對幾何有了更直觀的感受。

學期結束后，我對兩個班級進行的幾何部分階段測試成績統計表如下。

統計結果顯示:(1)尺規作圖的教學能顯著提高實驗班學生的幾何學習的直觀性，對學生的理性思維能力有很大的提高，能培養學生對幾何學習的興趣，提高學生幾何學習的成績。(2)同時，加強學生尺規作圖的訓練，能提高學生數學學習的動手操作，在數學平面幾何教學中，提供給學生充分的動手操作的空間，真正體現出《新課標》所倡導的“自主、合作、探究”的學習模式。以幾何作圖為主的動手操作在幾何教學中的作用是舉足輕重的，教師要能夠抓住時機，讓學生從動手操作中幫助理解并獲得幾何學習的啟示。

3.結論與建議

3.1結論

通過這一年的調查研究發現，尺規作圖在一定程度上對學生的幾何學習產生了影響，而幾何學習又對學生的數學學習產生了影響。通過對尺規作圖的擴展，學生對幾何的直觀認識更加深入，對點、線、面、垂直平行、角、平分、垂直平分、三角形等各種幾何基本概念有了進一步的了解，對它們的關系有了更深認識。這樣使學生能夠感受物質存在的位置關系、構作幾何圖形、正確地加以描繪，并能體會其中的本質，[3]從而帶來學習上的積極影響和主動精神。而相反，認為幾何教學中只應注重證明及計算，忽視直觀的圖形的觀點，對幾何教學及整個數學的教學是非常不利的。它會影響學生的幾何學習及整個數學的學習。

在人類歷史上，人們曾經進行過無數的尺規作圖問題的嘗試，其中甚至有些是不可能用尺規作圖的問題。最著名的是幾何中的三大不可能尺規作圖問題:三等分角、化圓為方、倍立方。多少人耗盡畢生的心血，付出無數的汗水，為之努力、奮斗。盡管他們是徒勞的，但在這尺與規的方圓之間，人們對幾何的魅力又有了新的認識，這從另一方面來說對數學的發展也是一種具大的推動。從中人們更深刻地領悟到了什么是真正的尺規作圖，尺規作圖中應注意什么，人們對數學的認識還存在哪些薄弱環節。

當前，由于應試教育的影響，在相當多的幾何教學中，教師仍以傳統的思辨論證和論證基礎上的計算為主。這是當前幾何教學中急待解決的問題，這會將幾何的教學引入了傳統的誤區，這對學生的幾何學習是一種誤導，它使幾何的直觀無法得到展現，我們在幾何教學中不能忽視使用尺規作圖這一難得的直觀手段。

3.2建議

在幾何教學中，如何進行尺規作圖的教學，這是一個不斷創新的主題。我們在教學中對什么是幾何作圖和幾何作圖的一般步驟要重點說明，在教學中，要說明幾何作圖與一般畫圖不同，它嚴格規定只準用直尺(沒有刻度)和圓規為工具，而且每一步作圖都必須有根有據，不能隨便畫。我們一定要以五種基本作圖為基礎，在掌握好五種基本作圖的基礎上，再介紹其應用，然后在此基礎上進行擴展。比較復雜的作圖，要經過嚴格分析，才能找到作圖的依據和方法。而在每一次的作圖中我們首先要仔細分析所要作圖的命題，通過對命題的分析，分清已知什么，求作什么，才能化出已知條件，寫好已知、求作。在講解作法時，最好邊畫圖邊敘述，然后讓學生說明作法的正確性，再寫出作法。作圖后對作法進行證明(或引導學生寫證明)，應引導學生學會對所作的圖形進行證明，這樣可使學生確信作圖的正確性。在講完后，教師要讓學生反復練習，發現錯誤，及時糾正，防患未然，在練中學，在學中練，以便讓學生切實掌握作圖方法。在每次的作圖中，教師要注意新舊作圖知識的交叉，要做到互相滲透，相輔相成，這樣才能收到較好的教學效果。

當前，尺規作圖在幾何教學中的意義越來越顯著。只要重視這一幾何教學中難得的直觀工具，幾何教學會更加豐富多彩，學生的幾何學習會有更大的提高。

參考文獻:

[1]孫月光.初中幾何教學研究.上海:上海教育出版社，2000:113-114.

[2]I.V.沙雷金.直觀幾何.上海:華東師范大學出版社，1998，3.

[3]張奠宙，李士锜，李俊.數學教育學導論.北京:高等教育出版社，2003:79.

[4]袁國振.教育研究方法.北京:高等教育出版社，2000.