關于“分類討論思想”的教學體會

分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想在簡化研究對象，發展思維方面起著重要作用。因此，有關分類討論的思想的數學命題在高考試題中占有重要地位。所謂分類討論，就是在研究和解決數學問題時，當問題所給對象不能進行統一研究，我們就需要根據數學對象的本質屬性的相同點和不同點，將對象區分為不同種類，然后逐類進行研究和解決，最后綜合各類結果，得到整個問題的解決，這一思想方法，我們稱之為“分類討論的思想”。

1.分類討論的思想方法是中學數學的基本方法之一，是歷年高考的重點。

(1)分類討論的思想具有明顯的邏輯特點。

(2)分類討論問題一般涵蓋知識點較多，有利于對學生知識面的考查。

(3)解決分類討論問題，需要學生具有一定的分析能力和分類技巧。

(4)分類討論的思想與生產實踐和高等數學都緊密相關。

2.分類討論的思想的本質。

分類討論思想的本質上是“直接求解，存在不同情況”，從而增加了題設條件的解題策略。

3.運用分內討論的思想解題的基本步驟。

(1)確定討論對象和確定研究的區域。

(2)對所討論的問題進行合理的分類(分類時需要做到不重復、不遺漏、標準統一、分層不越級)。

(3)逐類討論，即對各類問題詳細討論，逐步解決。

(4)歸納總結，整合得出結論。

4.明確分類討論的思想的原因，有利于掌握分類討論的思想方法解決問題。

(1)由數學概念引起的分類討論:如絕對值定義、等比數列的前n項和公式，等等。

(2)由數學運算要求引起的分類討論:如偶次方根非負、對數中的底數和真數的要求、不等式兩邊同乘以實數對不等號方向的影響，等等。

(3)由函數的性質、定理、公式的限制引起的分類討論。

(4)由幾何圖形中點、線、面的相對位置不確定引起的分類討論。

(5)由參數的變化引起的分類討論:某些含參數的問題，由于參數的取值不同會導致所得結果不同，或由于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法。

(6)其他根據實際問題具體分析進行分類討論，如排列、組合問題，實際應用題等。

5.分類討論思想的類型。

(1)問題中的變量或含有需討論的參數的，要進行分類討論的。

(2)問題中的條件是分類給出的。

(3)解題過程不能統一敘述，必須分類討論的。

(4)涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的。

典型例題

例1.(2009江蘇高考20題)設a為實數，函數f(x)=2x+(x-a)|x-a|。

(1)若f(0)≥1，求a的取值范圍;

(2)求f(x)的最小值;

(3)設函數h(x)=f(x)，x∈(a，+∞)

分析:第(2)問，求f(x)的最小值，絕對值影響了求解，因此重要的問題是如何去絕對值。

記f(x)的最小值為g(a)，有:

f(x)=2x+(x-a)|x-a|=3(x-)(x>a)(x+a)-2a(x≤a)。

下面對a≥0和a<0兩種情況討論即可。

例2.(2007#8226;上海)直角坐標系x○y中，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量。在直角三角形ABC中，若=2+，=3+k，則k的可能值個數是(?搖?搖?搖?搖)。

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

分析:由(2，1)，(3，k)，得(1，k-1)，

由于△ABC為直角三角形，則∠A，∠B，∠C都可能為直角，由向量數量積為0，分別有2+k-1=0或3+k(k-1)=0或6+k=0，解得k=-1或k=-6。

答案:B

點評:本題主要考查向量運算及向量垂直的判定，也考查了學生分類討論思想能力，引起分類的原因是直角三角形直角的不確定，但有的學生也可能想到位置有三種情況，故主觀認為有三個值，這也是值得思考的。本題可從數學結合的角度分析C角不可能是直角。

由上述兩例題可以發現，分類討論是解決問題的重要方面，最重要的是討論的依據性、合理性、規范性。因此，在教學過程中，教師要注意分類討論思想的教學，讓學生體會分類的必要性，可操作性。