解析幾何中減少計算量的教學探究

解析幾何是用代數方法研究幾何問題的數學學科。在解析幾何的解題過程中，無論是計算題還是證明題，我們通?？偸菍⒁阎膸缀螚l件表示成代數式子，然后經過適當的代數運算，最后回歸到所需的幾何目標。因此，在解題過程中，盡量較少計算量，往往成為迅速、準確解題的關鍵。我現將在教學過程中的探索介紹如下，并以例子加以說明。

一、依據題目要求，考慮為達到最終目標而可能被采用的中間目標，加以分析比較，選擇其中計算量較少的方法。

例1.一條直線與雙曲線交于P，P′兩點，與此雙曲線的漸近線交于Q，Q′兩點，求證:|PQ|=|P′Q′|。

分析:(如圖1)設雙曲線的方程為-=1，則其漸近線方程為bx±ay=0。若直線與y軸平行，由雙曲線及漸近線關于x軸對稱易知:|PQ|=|P′Q′|。若直線與y軸不平行，可設直線方程為y=kx+m。如果解方程組-=1bx±ay=0y=kx+m求出P，Q，P′，Q′四點的坐標，再用兩點間距離公式求出|PQ|和|P′Q′|，顯然計算量很大。為了減少計算量，通過認真分析題設，發現可將證明|PQ|=|P′Q′|轉化為證明PP′的中點M與QQ′的中點M′重合。顯然這兩個命題是等價的，而證明后者的計算量要小得多?，F簡扼證明如下。

由方程組-=1 ①y=kx+m②得(b-ak)x-2amkx-am=0，

根據中點坐標公式及一元二次方程的根與系數的關系得:x==。

同理，由方程組-=0y=kx+m可得(b-ak)x-2amkx-am=0與x==。

∴x=x，而M與M′都在不平行于y軸的同一直線上，所以M與M′重合，即|PQ|=|P′Q′|。這樣問題得以很快解決了。

二、在列方程(或方程組)解題時，應盡量使所列方程的次數較低，從而可少計算量。

例2.已知兩直線l:4x-3y-1=0和l:4x-3y+4=0，求與這兩條直線相切且過點P(1，1)的圓的方程。

分析:如圖(2)，易知l∥l，且此兩平行直線的距離為1，設所求的圓的圓心為(a，b)，半徑為r，則r=。依題設得:-=(1)(1-a)+(1-b)=()(2)，解此方程可求出a，b，從而進一步可求出圓的方程。但是，方程(2)是二次方程，解(1)、(2)組成的方程組計算量比較大，因此應考慮能否用一個一次方程代替方程(2)。注意到圓上的點P(1，1)的坐標恰好是直線l的方程的解，所以圓與直線4x-3y+1=0的切點就是P(1，1)。這樣，由圓的切線性質有=-……(2)′，用方程(2)′代替(2)，將可使計算量大為減少。

三、當題中沒有給定坐標系時，可以在不違反題意的前提下適當選取坐標系，以達到減少計算量的目的。

這種方法在求解軌跡問題中的益處是明顯的，例如橢圓、雙曲線和拋物線等方程的建立，而且在解決證明題中通常也是很有效的。

例3.如圖(3)，正方形ABCD中，M是AB的中點，MN⊥MD，BN平分∠CBE，其中E在AB的延長線上，用解析法證明MD=MN。

證明:以A為原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系XOY。設正方形邊長為a，則各點坐標如圖(3)所示。k==-2，∵DM⊥MN，K=，∴直線MN的方程為y-0=(x-)……(1)，直線BN的方程為y-0=(x-)……(2)。聯立解(1)(2)得N的坐標為(a，)，即可證得|MD|=|MN|。

如果將坐標系原點選為B，如圖(4)所示，由于BN平分∠CBE，故可設N(m，m)。由DM⊥MN得#8226;=-1，解得m=。

由此可證得|MD|=|MN|。

比較兩種不同的選取坐標系的方法，顯然第二種較第一種優越，計算量較小。實質上，第二種選取坐標的方法，是充分利用BN平分∠CBE這個條件，使N點縱坐標與橫坐標相等，這樣只有一個未知數，避免了解方程組，從而減少了計算量。

四、借取其它學科(如代數，平面幾何等)的知識解題。

上述例1中應用一元二次不不等式的根與系數的關系，減少了計算量。現再舉一例。

例4.一直線經過點(3，1)，它被兩條平行直線l:x+2y-1=0與l:x+2y-3=0所截線段中點在直線l:x-y-1=0上。求此直線的方程。

解:如圖(5)所示，設直線l與l，l分別交于A、B兩點，l與l，l分別交于C、D兩點，l與l交于點E。依題意E為AB的中點。

∵l∥l，

∴△BED∽△AEC，

∴=，

∴E也是DC中點。

解x+2y-1=0x-y-1=0和x+2y-3=0x-y-1=0，

可得:C(1，0)，D(，)，E(，)，

∴直線l的方程是:=，即2x-5y-1=0。

在這里，應用平面幾何知識得出E也是DC的中點是關鍵。若單純使用解析幾何方法，本題一般解法是設直線l的方程為y-1=k(x-3)，然后求出l與l，l與l的交點，再用交點坐標之中點在l上求出k的值。但是因為l的方程中含有未知數k，所以求l與l、l的交點，計算量就比較大。上面應用平面幾何知識得出E也是DC的中點，將求l與l，l的交點的問題，轉化為求l與l，l的交點的問題，而l的方程是已知的，比較簡單，這樣就減少了計算量。

五、應用過兩直線交點的直線系方程和過圓交點的圓系方程解題。

當題中涉及求過兩直線交點的直線或過兩圓交點的圓方程時，通?？刹捎么朔椒?，其優點是可用解一個方程確定直線系或圓系方程的系數入手，代替解方程組(確定交點坐標)，從而減少計算量。

例5.以圓O上任意一點C為圓心作一圓與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓O交于E、F。求證:EF平分CD。

證明:如圖(6)所示，取O為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系XOY，則圓O的方程可寫為x+y=R……(1)。

設C點坐標為(x，y)，則圓C的方程是:

x-2xx+y-2yy+x=0……(2)

由(1)-(2)得EF的方程為2xx+2yy-R-X=0。

取CD中點G(x，)，易證點G在EF上，即EF平分CD。

在上述解題過程中用過兩圓交點的圓系方程為:

x+y+Dx+Ey+F+λ(x+y+Dx+Ey+F)=0。

特別的是，當x=-1時即為兩圓的公共弦方程。因此不必求出E、F點的坐標，而直接求出EF的方程，從而使計算量大為減小。

培養學生在解題過程中減少計算量的能力，不僅能使學生有效而迅速地解題，而且能使他們思維活躍，提高分析問題和解決問題的能力。因此，在教學中教師必須引起足夠的重視。