尋找射影點的妙招

在教學實踐中不難感到學生在作線面角或二面角的平面角時，找某一定點在某一面上的射影點是困擾學生的難點。在該問題中挖掘面面垂直比較抽象，但從線面垂直角度入手比較容易突破，本文從線面垂直角度闡述尋找射影點的一種方法。

首先先介紹解題的程序:先找射影面(即為“某一面”)，線在射影面中找;再找垂面，垂面從線面垂直中呈現(要求垂面過定點);最后作出交上垂，射影點便生成。

實例演練:

例1.PA⊥面ABC，BC⊥AB，AB=3，BC=PA=4，求線PB與面PAC所成的角。

分析:本題解題的關鍵是尋找點B在面PAC上的射影點，由此可確定面PAC為射影面;通過已知不難看出面PAC中的線PA，PA⊥面ABC，且B∈面ABC，所以面ABC即為垂面。而面ABC∩面PAC=AC，過B作BT⊥AC，則BT⊥面PAC，則T為B在面PAC上的射影，連PT，則∠BPT即為所求。

解:過B作BT⊥AC，

∵PA⊥面ABC，

∴PA⊥BT

又∵PA∩AC=A，BT⊥面PAC，

T為B在面PAC上的射影，連PT，則∠BPT即為所求，

在Rt△BTP中:∠BTP=90°，BT=，PB=5，

∴sin∠BTP=，

∴∠BTP=arcsin，

∴線PB與面PAC所成的角為arcsin。

例2.正方體ABCD-ABCD的棱長為1，P是AD的中點，求二面角A-BD-P的大小。

分析:在二面角的兩個半平面內，半平面DAB內存在線AB，AB⊥面AADD，且P∈面AADD，由此可知:半平面DAB為射影面，平面AADD為垂面，而面DAB∩面AADD=AD，過P作PT⊥AD，則T為P在面DAB上的射影。

解:過P作PT⊥AD，

∵AB⊥面AADD，

∴AB⊥PT。

又AB∩AD=A，

∴PT⊥面DAB。

過T作TK⊥DB，由三垂線定理得:PK⊥DB，

∴∠PKT即為二面角A-BD-P的平面角。

在Rt△KTP中:∠KTP=90°，PT=，PK=，所以sin∠TKP=。

所以:∠TKP=30°。

所以二面角A-BD-P為30°。

例3.如圖:S為△ABC所在平面外一點，SA⊥面ABC，AB⊥BC，設二面角S-BC-A大小為，SA=BC，求二面角A-SC-B大小。

分析:

思路一:由題可知:BC⊥面SAB，

∴面SBC為射影面，面SAB為垂面，

而面SBC∩面SAB=SB，過A作AE⊥SB，

則AE⊥面SBC，

∴E為A在面SBC內的射影。

思路二:由SA⊥面ABC可知:面SAC為射影面，

面ABC為垂面，面SAC∩面ABC=AC，

過B作BE⊥AC，則E為B在面SAC內的射影。

解法一:∵SA⊥面ABC，

∴SA⊥BC，BC⊥AB。

∵AB∩SA=A，

∴BC⊥面SAB，

∴SB⊥BC，

∴∠SBA即為二面角S-BC-A的平面角，

∴∠SBA=45°。

設SA=1，

則AB=BC=1。

過A作AE⊥SB，

又AE⊥CB，

∴AE⊥面SBC。

過E作ET⊥SC，連接AT，

由三垂線定理得:AT⊥SC，

∴∠ATE即為二面角A-SC-B的平面角。

在Rt△AET中:∠ATE=90°，AE=，AT=，所以sin∠ATE=，所以∠ATE=60°，

所以二面角A-SC-B為60°。

解法二:∵SA⊥面ABC，

∴SA⊥BC，BC⊥AB。

∵AB∩SA=A，

∴BC⊥面SAB，∴SB⊥BC，

∴∠SBA即為二面角S-BC-A的平面角，

∴∠SBA=45°。

設SA=1，

則AB=BC=1。

過B作BE⊥AC，

∵SA⊥面ABC，

∴SA⊥BE。

又AB∩CA=A，

∴BE⊥面SAC。

過E作ET⊥SC，聯接BT，則BT⊥SC，

∴∠ETB即為二面角S-BC-A的平面角。

在Rt△AET中:∠BET=90°，BE=，BT=，所以sin∠BTE=，

所以∠ATE=60°。

所以二面角A-SC-B為60°。

此種方法不僅在處理有關找線面角、找二面角的平面角有很重要的作用，而且在一些距離求解上(比如:點到面的距離、點到線的距離)也是重要的方法來源。希望同學們能夠認真閱讀反復體會，學以致用，這對今后的做題定會有很大幫助。