用構造法求數列的通項公式

在高中數學教材中，有很多已知等差數列的首項、公比或公差(或者通過計算可以求出數列的首項，公比，公差)來求數列的通項公式。但實際上有些數列并不是等差、等比數列，給出數列的首項和遞推公式，要求出數列的通項公式。而這些題目往往可以用遞推公式構造出一個新數列，從而間接地求出原數列的通項公式。對于不同的遞推公式，我們當然可以采用不同的方法構造不同類型的新數列。下面給出幾種常見的求數列通項公式的方法。

一、利用倒數關系構造新數列，從而求原數列的通項公式。

模型:已知a和a=，求數列{a}的通項公式。

方法:給a=兩邊取倒數，化為等差數列，即=+c(n∈N)，通過求數列{}的通項公式而求出數列{a}的通項公式。

例如:數列{a}中，a=1，a=，求{a}的通項公式。

二、利用兩邊取對數構造新數列，從而求原數列的通項公式。

模型:已知a和a=a，求數列{a}的通項公式。

方法:給a=a兩邊取對數，化為等比數列，即:lga=mlga(n≥2，n∈N)。

通過求數列{lga}的通項公式而求出數列{a}的通項公式。

例如:在數列{a}中，若a=3，a=a，n是正整數，求數列a的通項公式。

三、利用疊加法求數列的通項公式。

模型:已知a和a-a=f(n)，求數列{a}的通項公式。

方法:疊加法

a-a=f(1);a-a=f(2);a-a=f(3);…;a-a=f(n-1)。以上各式相加得:a-a=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1)。

即:a=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(n-1)+a(n∈N)。

例如:在數列{a}中，已知a=1，a-a=2，求數列{a}的通項公式。

當遞推公式形如:a=a+;a=a+;a=a+等情形時，可以構造b=a-a，得:b=;b=;b=，

即:b=-;b=(-);b=-。

從而用裂項相消法求出數列前n-1項的和T，

T=1-;T=(1-);T=-1，

即:a-a=1-;a-a=(1-);a-a=-1，

從而求出:a=a+1-;a=a+(1-);a=a+-1。

四、利用疊乘法求數列的通項公式。

模型:已知a和a=f(n)a，求數列{a}的通項公式。

方法:疊乘法。

把a=f(n)a變形得:=f(n)。

=f(1);=f(2);=f(3);…;=f(n-1)

以上各式相乘得:=f(1)f(2)f(3)…f(n-1)，

即:a=f(1)f(2)f(3)……f(n-1)a(n∈N)。

例如:在數列{a}中，已知a=1，a=a，求數列{a}的通項公式。

五、利用S與n或S與a的關系，求數列{a}的通項公式。

方法:通常用S-S(n≥2)，轉化為前面所講的方法來求。

例1:已知數列{a}的前n項和S=3-2，求數列{a}的通項公式。

例2:已知在正項數列{a}中，S表示前n項和，且2=a+1，求數列{a}的通項公式。

六、利用待定系數法求數列的通項公式。

模型1:已知a和a=ca+d，可以通過待定系數法a+λ=c(a+λ)，化為以c為公比的等比數列。

模型2:已知a和a=ca+bn+d，可以通過待定系數法a+k(n+1)+λ=c(a+kn+λ)，化為以c為公比的等比數列。

模型3:已知a和a=ca+2(c≠2)，可以通過待定系數法a+k#8226;2=c(a+k#8226;2)，化為以c為公比的等比數列。

模型4:已知a和a=ca+c，可以通過待定系數法a+k(n+1)#8226;c=c(a+kn#8226;2)，化為以c為公比的等比數列。

以上四種模型都是利用待定系數法轉化為一個新的等比數列，通過求新數列的通項公式而求出數列{a}的通項公式。

總之，對于很多數列，我們都可以由遞推公式構造新數列的方法求出它們的通項公式。當然，在教學中我們應當充分調動學生的積極性，努力培養學生的創造能力，讓學生自己去構造，自己去探索，使學生親自嘗到成功的樂趣，激起他們強烈的求知欲和創造欲。