例談類比法解題

類比推理可以發現新的數學知識的規律，可培養學生的發散性思維、創造性思維及合情的推理能力。因而，類比推理題已成為近幾年來高考新寵，此類試題極富思考性和挑戰性，凸現新大綱對思維能力的要求和新課程改革倡導的教育理念。本文從以下幾方面例舉類比推理思想的應用。

一、 同類事物的類比

由于數學具有符號化、特征化和結構化的特點，所以數學中的相關知識具有非常相似的性質，比較他們的結構和性質，可以使很多相關性質得以遷移。

例1:(2000年上海高考題)在等差數列{an}中，若a10=0，則有等式a1+a2+…an=a1+a2+…+a19-n(n<19，n?綴N*)成立。類比上述性質，相應地，在等比數列{bn}中，若a9=1，則有等式______成立。分析:本題是等差數列與等比數列的問題，兩者可進行類比:等差數列{an}中，已知a10=0，由等差數列的性質可以得到am+a20-m =2a10=0，在等式中，左右兩邊都是和的形式，若19-n>n，等式右邊=(a1+a2+…an)+an+1+an+2+…+a19-n，而an+1+a19-n=0，an+2+a18-n=0…故等式左右兩邊相等。若19-n>n，同理可得。而在等比數列{bn}中，已知b9=1，因而由等比數列的性質有:bm·b18-m=b92=1，可知所求等式左右兩邊應該都是乘積形式，類比等差數列的等式，可得結論b1、b2…bn=b1b2…b17-n.

二、 降“次”、降維類比

(1)降“次”類比。欲解決代數中某些高次的問題，可將它與低次問題進行類比，從而尋求解決問題的方法。

例2 :求12+22+…+n2的和。分析:直接求解難以入手，但是容易想到1+2+…+n的和，將兩者進行類比。由等差數列求和公式易知:Mn+1+2+…+n=，設Sn=12+22+…+n2，則將Mn，Sn的部分值列表比較(圖1)。根據表格觀察，不難發現規律:當n=1，2，3，4，5，6……時，Sn與Mn的比值:=，，，，，……，從而歸納出=，即Sn=Mn=·=，故12+22+…+n2=。由于歸納是不完全歸納，故應進行證明，在這里就不再贅述。

(2)降維類比。我們研究空間圖形，也可以與平面圖形進行類比，比如空間中的直線可以與平面內的點進行類比，空間中的面可以與平面內的直線進行類比，空間的長方體與平面的長方形，空間的多面體與平面的多邊形等等，都可以進行類比。通過對我們比較熟悉的平面圖形的性質的研究，從而類比得到相應空間圖形的某些性質。

例3:(2006年高考題)如圖2，在四面體ABCD中，截面AEF經過四面體的內切球(與四個面都相切的球)的球心O，且與BC，DC分別截于E，F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC表面積分別為S1，S2則必有( ):A.S1S2 ，C.S1=S2，D.S1與S2的大小關系不能確定。分析:本題可將空間圖形(圖2)與平面圖形(圖3)進行類比(圖4)。我們先看平面幾何中的相應問題:如圖3，在△ABC中，直線EF經過其內切圓圓心O，且與邊AB、AC分別交于點E、F，如果線段EF將△ABC分成面積相等的兩部分，設△AEF與四邊形EBCF的周長分別為L1、L2，則求L1、L2之間的關系。設內切圓半徑為r，將△ABC分成△AEO、△AFO兩部分，將四邊形EBCF分成△BOE、△BOC、△COF三部分。由題意知:S△AEO+

S△AFO=S△BOE+S△BOC+S△COF，即 (AE+AF)·r=(EB+BC+CF)·r，即AE+AF=EB+BC+CF 。所以AE+AF+EF=EB+BC+CF+EF，即 L1=L2 ，所以類比上述問題可猜想，S1=S2，事實上，其思路與上述問題相仿，可將四棱錐A-BEFD分割成四部分:O-ABD，O-ADF，O-AEB，O-BEFD。將三棱錐A-EFC分割成三部分:O-AEC，O-EFC，O-AFC，利用三棱錐A-EFC和四棱錐A-BEFD體積相等及平面問題相類比即可得出S1=S2。

三、 數形類比

所謂數形類比是指由數量關系到空間(平面)圖形的類比，數學家郎日期說過:“只要代數與幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄，但是當兩門學科結合成伴侶，它們就相互吸取新鮮活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善。”

例4:設a>b>0，C>b>0，求證+≥.分析:觀察根式內的形式，容易聯想到與余弦定理相似，因此可以構造三角形。而a-ab+b=a-2abcos60°+b2，b-bc+c=bcos60°+c2，a+ac+c2=a-2accos120°+c2，于是構造出以a，b為兩邊，夾角為60°的三角形，以b，c為兩邊，夾角為60°的三角形，以a，c為兩邊，夾角為120°的三角形。本題即可以根據三角形三邊之間的關系去解決。解:構造如圖5所示的平面圖形，則BD= =，CD==，BC=，而在△BDC中，BD+DC>BC，所以+>，若D在BC上，則BD+DC=BC，因此+>，綜上可知:+≥。

類比法在高中數學中的應用非常廣泛。有了類比，復雜化的問題可變得簡單、清晰而有趣味，而且還有利于培養學生的創造性思維。本文從幾方面研究了類比思想在解題過程中的應用，希望能起到拋磚引玉的作用。

(蘭溪市第六中學)