由“平均數”想到的

思考《數學新課程標準》特別強調從統計學的角度來理解平均數。然而什么是“從統計學的角度”來理解平均數?如何將平均數作為一個概念來教?在教學中又如何落實?我一直在思考著、困惑著……

前不久我有幸參加了第十屆現代與經典全國小學數學教學觀摩研討會，會上聆聽了諸多名師的課與報告。感觸頗多，其中張齊華老師的“平均數”一課精彩、生動，既貼近學生生活，又能引發學生的思考，使我受益匪淺。

誤區平均數是統計中的一個重要概念。對于三年級的學生來說它非常抽象。以往在教學平均數時，教師往往把教學重點放在平均數的求法上。我以前就是這么上的：“同學們，你們知道上學期期末我們班數學成績的平均分是多少嗎?”“這個分數表示什么意思?是否每個人都得89分呢?它又是怎樣得來的?”從而引入課題。接著出示兩幅統計圖引導學生觀察：男女隊進行了一次投籃比賽，每人投15個。女隊員4人，男隊員5人。女隊員分別投中6個、9個、7個和6個，男隊員分別投中10個、4個、7個、5個、4個。那么，是男子籃球隊整體水平高一些，還是女子籃球隊整體水平高一些?我讓他們小組合作討論，他們發現：應該求出男女生投中個數的平均數，然后再進行比較。我追問：“那我們應該怎么求它們的平均數?”這個問題難不倒他們，不一會兒他們就列式算出了正確的結果。接著我引導學生總結求平均數的公式，并用一系列習題來深化學生對于平均數的認識。不知不覺這堂課就順利的結束了。然而，下課后，一名學生走到我身邊問道：“老師，究竟什么是平均數啊?”我一聽就來火了，怎么上完了課連平均數是什么都不知道啊!當我回到辦公室。剛才的問題一直在我腦海中翻轉：對啊，究竟什么是平均數呢?這節課看上去上得思路清晰，練習到位，但細想一下，學生對于平均數真的理解了嗎?還是我給他們只是上了一堂求平均數的應用題課呢?究竟應該從什么角度來教學平均數呢?

開朗直到這次聽了張齊華老師的“平均數”，我才豁然開朗。他是這樣上的：以聊天的方式開場，“你們知道張老師平時喜歡的體育運動項目是什么嗎?是籃球!”看似不經意的談話，其實為以下的環節作了鋪墊，自然引出“投籃賽”這一數學情境：張老師和小明、小剛、小強進行一分鐘投籃賽，以每分鐘進球多少論勝負。學生一聽，馬上就來了勁兒。小明先投，結果一分鐘僅投中5個，學生們馬上發出一聲嘆息!此時，張老師話鋒一轉：“小明馬上祈求我：‘張老師，再給我投兩次吧?剛才我太緊張了。’你們說，給不給他這個機會呢?”由于學生們同情弱者，有很想打敗老師的心理，異口同聲的表示同意。于是小明再投，結果第二、三分鐘均投中5個。此時張老師引導學生思考：小明一分鐘能投中幾個?用哪個數表示他一分鐘的成績比較合適?為什么?大部分學生贊同用5個作為他的最終成績

小剛第二個出場，結果分別投中3個、4個、5個。小強第三個出場，3分鐘各投中3個、7個、2個。此時，又該用哪個數表示他們一分鐘的水平?為什么?跟著學生的回答，張老師通過大屏幕展示“移多補少”的直觀操作，同時在學生列式計算后總結“先合并再均分”的算法基礎上，揭示平均數的概念，并幫助學生認識平均數對于描述一組數據的整體水平的意義。

當學生初步理解平均數的意義之后，張老師最后登場。一開始便提出“水平不行，想投4次”的請求，在征得學生的同意后，張老師前3分鐘的成績分別是4個、6個、5個，張老師問：“你覺得張老師會贏得這場比賽嗎?為什么?”學生說現在還不好說，得看第四次的成績。此時學生初步感受到平均數是受每一個數據影響的。在出示第四次成績為1個后。學生們馬上笑起來：“哈哈，張老師你輸了!”“為什么輸了?如果最后一次投中5個或者9個，結果會怎樣?”……至此，在一番激烈的討論與計算后。學生對平均數的意義體會得更加深刻，概念也由此建立。

回顧兩堂課，同樣是比賽的主題情境。但其設計理念根本不同。首先，張老師情境中出現的數據都是由同一個體所產生，學生顯然不會求其總數，因而，從這組數據中“挑”一個或“創造”一個來代表這組數據的一般水平，對學生而言似乎更容易理解。其次，張老師多次提出“他想再投兩次，該不該給他這個機會?”“老師想多投一分鐘，行還是不行?”“最后，老師為什么反而輸了?”這樣的問題，看似與平均數無關，實則緊密相連。例如，當小明第一分鐘僅投5個時，究竟該不該讓他再投2分鐘?當學生最終通過討論，同意這一請求時。對學生而言，這究竟意味著什么?——投籃的次數并不是決定輸贏的關鍵因素，若干次成績背后所呈現出的一組數據的分布情況及其所反映出的一般水平，才決定著一個人的實際水平，并最終決定著他的輸贏。試想，在經過這樣的縝密思考、獲得如此的生活體驗后，學生怎么能夠不對平均數獲得更為豐富的理解和把握呢?

捷克著名教育家夸美紐斯說過：對青年的正當教育不在把他們的腦袋塞滿從各個名家處拉來的字句和觀念，而在使他們的悟性看到外面的世界，希望他們的心里自己生出一道活流。在我們的數學教學中不能僅滿足于學生對解題方法的掌握，更要注重對孩子數學思維方式的訓練，使他們具有靈敏的數學嗅覺、敏銳的數學眼光、清晰的數學思路。