解答生活化數學問題,培養學生數學能力

數學新課標指出“數學教學中要使學生感受數學與現實生活的聯系”，要讓學生從他們熟悉的生活情景和感興趣的事物出發，從生活實踐經驗中學習數學和理解數學。體會數學來自生活，又作用于生活。因此在教學中，我們應重視生活化數學問題，并通過此類問題的解答來培養學生的數學能力。

生活化數學問題的解答可分五步走：閱讀審題、分析轉化、數學建模、應用解模、驗證反思。

一、閱讀審題，培養學生閱讀理解能力和語言表達能力

閱讀理解能力是數學學習能力的首要能力。是學生自學能力的重要構成部分，是學生解決問題的大前提。審題是解題的基礎，完全明確問題的文字陳述和符號的含義，準確把握問題的條件和結論。任何問題的發現和解答都必須從觀察和閱讀開始。閱讀就是從圖像、文字、聲音等提取直觀信息的過程。這是一個整體感知問題的過程，可促使學生直觀思維的發展。在生活化數學問題的解答中就要求學生能通過仔細的閱讀，了解題目背景，理解每個生活語言、數量、圖表的意思，抓住關鍵的字句，捕捉有效信息，精簡題目。我們應該引導學生用自己的語言概括出題目大意，然后集體討論補充。千萬不要以我們的理解和概括代替他們。經常這樣訓練。可培養學生閱讀理解的能力和語言概括表達能力。

例1兄妹倆分別在離家2千米和1千米且方向相反的兩所學校上學，每天同時放學后分別以4千米／小時和2千米／小時的速度步行回家，一小狗以6千米／小時的速度由哥哥跑向妹妹，又從妹妹跑向哥哥，如此往返直至回到家中。問小狗奔波了多少路程?

這個問題涉及的對象較多，數量也不少，容易搞混。要求學生經過閱讀，了解對象及對應性。明白這里涉及的幾個數量分別指什么，分別是哪個對象的，最后需要求什么。然后提煉信息，把這個問題濃縮精簡

二、分析轉化，培養學生分析整合能力

我們的學生往往能解決課本中純粹的數學問題，而碰到生活實際題就會覺得難度大大增加，明顯產生畏懼心理。原因就在于無法解決生活題與課本問題的轉化。它是對審題效果的檢驗，也是解決實際問題的關鍵一步。轉化指的是在整體感知生活問題的前提下，要求學生能把到的有關信息經過整理、加工，聯系已學知識，用數學語言(包括文字、符號、圖形語言)把生活實際題進行轉化，變作我們常見的一個純粹的數學問題。成為我們熟悉的課本題。這個問題是有較大難度的。但挑戰就是機會。我們要通過這個過程培養學生的分析整合能力，為以后的學習鋪平道路。

例2隧道的截面由兩部分構成，上面是拋物線。下面是矩形，矩形的長為8米，寬為2米，截面最高點到地面的距離為6米，現有一輛貨運卡車高4.5米，寬2.4米，它能否通過隧道?若該隧道內設雙行道，為安全起見，在隧道正中間設有0.4米的隔離帶，那么該貨運卡車還能通過隧道嗎?

這個題目就要求學生在理解題意的基礎上進一步分析：如何讓這么多的文字更簡潔明了點。自然而然想到數學符號和圖形的特征和優勢。于是會畫出圖畫。標上有關字母和數量關系，寫出已知條件和要求的問題。這樣就把生活題轉化為數學題了。

已知：如圖，AED為拋物線，ABCD為矩形。其中AB長2米，BC長8米，拋物線頂點E到BC的距離為6米。

問：一輛貨運卡車(截面可看作是一矩形)高4.5米。寬2.4米能否通過?設雙行道和隔離帶指的是正中間有一0.4米寬的地方是無法行駛的。

在此轉化過程中，把文字、符號、圖像、數量有機結合，數形結合思想和化歸思想得到很好的體現和運用。同時數學語言之間的轉化反映出學生分析整合能力的發展和提高。

三、數學建模，培養學生數學建模能力

轉化題目后，就要求我們能構建一個適合本題的數學模型來解答問題。其實一個實際應用問題解答的實質問題就是建立數學模型。建立數學模型是要求我們通過現象抓住問題本質，進行適當的假設，用恰當的數學形式表示隱含在其中的數學關系，從而得出數學模型。在教學中要引導學生抓住問題中的關鍵詞和對象特征，聯系我們已學的知識結構。然后進行模型構造。常見的模型有方程、函數、不等式、幾何特征圖形等。這是解決數學生活題目的必經之路。因此我們要通過平時的生活問題解答訓練來培養他們的數學建模能力。實現解題的真正目的：“解題——培養能力——解決問題”。

如例2應引導學生找到問題的關鍵圖形。了解它的特征是拋物線，就會馬上想到二次函數這個數學模型。從而設出兩個變量，再借助于平面直角坐標系來求解析式。把問題轉化為二次函數中已知一個變量值來求另一變量的類型，這個可是學生能輕而易舉解決的數學課本問題。

建模能力的培養要經常訓練。建模要注意兩點：

1、要抓準對象特征來建模。如上題的拋物線改為半圓。構建的模型就不是函數，而是構造一個圓內的特殊三角形(半條弦、半徑和弦心距構成的直角三角形)。

2、同一題可構造不同的模型。如“有兩種客車，每輛大客車需要甲種零件8個，乙種零件3個。每輛小客車需要甲種零件4個，乙種零件10個，現在用去甲種零件52個，乙種零件79個，那么這些零件裝配大小客車各有幾輛?”。這個問題就可用“雞兔同籠”和“二元一次方程組”這兩種數學模型來解決它。

四、應用解模，培養學生應用知識進行運算推理的能力

模型構建以后，留給我們的問題就是應用所學知識進行計算解答。這就需要學生有比較扎實的數學基本功。才能確保問題的正確求解此過程中必須思路清晰，耐心細致。同時要注意挖掘隱含條件，溝通已知與未知，講究一定的解題技巧和方法。引導學生獨立解答后進行交流比較，獲得正確答案和最佳方法。

如例2中平面直角坐標系的建法和拋物線解析式的求法都有巧妙之處，要注意選擇。運算時要仔細認真，確保簡單而又正確。同時要學會向他人展示自己的成果。學會表達自己的解題思路，善于比較，吸收他人的長處。在合作和交流中獲得更多的數學思想方法，開闊自己的視野，提升解決問題的能力。

例3某個圓錐形的物體，它的底面半徑為10厘米。母線長為30厘米，一只小螞蟻從圓錐底面圓周上一點A出發。要沿著圓錐的側面爬到母線PC的中點B，問小螞蟻爬行的最短路程是多少?

本題建模后轉化成右圖，根據“平面上兩點間線段最短”原理知道：要求的是線段AB的長度，該如何求呢?這就要求學生能通過獨立思考或集體討論發現△APG是一個正三角形，而B點恰好是一邊的中點，又等腰三角形三線合一性質一定可得到∠ABP為直角，從而用勾股定理解答。

由此可見，解決數學模型就是運用學過的知識(概念、公理、定理、性質)進行推理計算，考查學生知識掌握和應用能力。只有通過一定量的解答才能較快形成思路、熟練掌握，提升解答能力。

五、驗證反思，培養學生自我研究提高能力

反思是對學生思維過程中的一個明顯段落點或某一問題的思維結果進行科學慎重的回顧、分析和檢查。是培養學生對自身數學認知過程的自我覺察、自我審視、自我評價、自我調節能力的過程。這里指解題后的反思。包括檢驗解題結果、解題過程是否正確，解題思路和方法解題方法是如何得到的，是否合理和最佳，對今后解題和學習有何啟示。能否還能推廣和延伸到其他問題。等等。

在教學中，我們要引導學生進行及時的反思總結。從思維的發展過程、問題的解決、成果的交流中研究一些問題，得到一些收獲。經常反思，有助于我們優化數學知識結構，體會數學思想方法，發展數學思維。提高能力。

如例1中，一開始感到無從下手，甚至感到問題很復雜。小狗每一個來回的時間是不一樣的，也是無法求的。但解完后回頭來看，覺得太簡單了。求小狗的總路程，只需求小狗的總時間，而總時間就是兄妹兩人走完全程的時間。很純粹的一個相遇問題。只要了解最基本的路程、速度、時間之間的關系就能解答。提醒我們有時要整體考慮問題，不要被問題迷惑。例2中告訴我們如何抓住問題特征進行建模，又如何選擇最佳方法進行解答。而例3說明空間圖形的問題往往轉化為平面問題來解，又促使我們如何把空間圖形的表面進行展開。

生活化數學問題的解答適應新課程改革的發展。也為我們對數學知識的應用、能力的發展提供了廣闊的訓練素材，我們要充分利用。