“乘法和加\\減法的兩步混合運算”教學新視野

“乘法和加、減法的兩步混合運算”是蘇教版義務教育課程標準實驗教科書數學四年級上冊的主要內容之一。教材先讓學生解決購物情境中的兩個實際問題(列式為:3×5+20和50-2×18)，結合數量關系的分析體會“乘法和加、減法的兩步混合運算”的運算順序及其合理性。在此基礎上，概括出運算順序:算式中既有乘法又有加、減法，應先算乘法。在筆者對教材深鉆細研、對教學思路苦苦探尋的過程中，一個教學的深層問題阻斷了思緒——究竟為什么要“先算乘法”?誠然，憑借例題中的實際問題，能夠體會“先算乘法”的合理性，但是還不足以回答“為什么”!知其然，還要知其所以然。作為教師，必須弄清“先算乘法”的道理，因為這“道理”將直接左右教學設計的走向，特別是會影響教學的深度和效度!

一、探究

圍繞“為什么先算乘法”，我請教同事、教研員和師范學校的老師并查閱相關資料，概括起來，主要有以下五種觀點:

1 這是一種規定，純粹的人為規定，無需證明。

2 乘除法是第二級運算，按規定計算時要先算第二級運算。

3 為了避免混亂，保證運算結果的唯一性。

4 生活實際的需要。因為人們在實際生活中遇到需要先乘除后加減的問題，大大多于需要先加減后乘除的問題。這樣規定，方便解決多數問題。

5 為了簡化計算，提高計算效率。

把運算順序看成數學上的一種“規定”，這是一種共識。無論從以前“大綱”版教材里，還是現在教師(包括課程專家)的認識中，都可以獲得充分的印證。然而，為什么要這樣規定?“觀點1”只強調“先算乘法”是一種純粹的人為規定，沒有給出規定的理由。“觀點2”試圖利用一個新的規定(先算第二級運算)來解讀原來的規定(先算乘除)，走入“循環規定”的誤區。“觀點3”似乎帶有隨意性，更不具說服力。“觀點4”好像有點道理，比較符合生活中“少數服從多數”的原則。但運算順序的產生并非來自于哪種實際問題數量的多與少。筆者對“觀點5”持基本贊同的態度。

首先，可以從一個假設的教學情境中感悟。

當學生解答:“一個書包20元，一本筆記本5元，買1個書包和3本筆記本一共用去多少元?”列出綜合算式“20+3×5”之后，教師組織學生體會運算順序。

師:這道算式，應先算什么?

生(眾):先算3乘5。

師:為什么先算3乘57

生:因為要求“一共用去多少錢”，必須先算出“3個筆記本多少錢”，所以先算“3×5”。

至此，學生已經體驗到“先算乘法”的合理性，相應的教學也往往隨之結束。然而，如果將思維再向前推進一步，或許就有新的發現。

師:同學們，解決這個問題時必須先算3個筆記本的價錢嗎?如果我們用一個書包的錢——20元先加一個筆記本的——5元，再加第二個筆記本的錢——5元，最后加第三個筆記本的錢——5元(即:20+5+5+5)。可以嗎?

生:可以!

師:既然這樣算也可以，那么大家為什么不選擇它，而都選擇這種(20+3×5)方法呢?

生:因為這樣連加太麻煩，而先算“3×5”要簡便得多!

的確，先算乘法(3×5)再算加法(20+15)，比起連加(20+5+5+5)要簡便，特別是當相同加數更多的時候，先算乘法就越顯簡便了。雖然這是一個假設的教學情境，但是它卻把我們的思維從“中途”推到了“原點”，讓我們對“為什么先算乘法”的思考透過表層而進入了深層。

其次，可以從“先算乘法”的“對面”(先算加減法)作進一步思辨。我們經常會遇到這樣(或類似)的問題:“一種降價的棉襪每雙4元，媽媽上午買了5雙，下午又買了8雙。媽媽買棉襪一共花了多少錢?”解決這個問題時，既可以用“4×5+4×8”(先算乘法)來解答，又可以用“(5+8)X4，7(先算加法)來解答。雖然后者可能會加大計算的難度，但是它仍然得到老師和更多學生的青睞。究其原因，主要是師生覺得后者“少一步”計算更顯“簡便”。也就是說，人們之所以青睞“先算加法”解決這類問題。還是基于“簡便”的考慮。這也恰恰與例題中“先算乘法”的出發點是一脈相承的。

我們還可以從數學發展的角度去考察“為什么先算乘法”。我們知道，加法是數量變化的低級形式，是四則運算中最基本的算法，減法是加法的逆運算。后來人們在實踐中摸索到更為高級的運算——乘法，用乘法計算相同加數的和可以大大提高計算效率，使計算簡便。因此，遇到型如“x+a+a+…+a(b個a)”的計算問題，自然就想到先用乘法算b個a的和(b×a)，然后再加x。由此可見，人們之所以規定“先算乘法”，歸根結底是緣于計算的簡便，是根據數學本身運算的特點而確定的，基于計算的簡便，人們才規定“算式中有乘法和加、減法，應先算乘法”。

二、實踐

基于以上研究，筆者作出相應的教學預設，并進行多次實踐、反思與調整，最終獲得大家的認可。下面摘錄“運算順序”課堂教學的核心部分，與大家分享!

課始，學生依次口算:8-3+10、2×6÷4、22÷2×3、16+20-5、28-3×2，并由最后一題所產生的異議引入新課。

1，初步體驗。

師:請同學們看多媒體屏幕，我們繼續口算。

出示:13+6+8(集體口答)。

師:你是怎樣算的?

生:先用13加6等于19，再算19加8等于27。

由上式直接改為:13+6+6(集體口答)。

師:這又該怎樣算?

生1:先用13加6等于19，19再加6等于25。

生2:這里有2個6，2乘6等于12，13再加12等于25。

師:也就是先算出2+6，再與13相加。

再改為:13+6+6+6+6+6。

此時，學生不約而同地發出驚訝的聲音，同時積極計算:五六三十……不到3秒鐘，他們已經說出了結果——143。

師:都同意嗎?

生(眾):同意!(師出示結果43)

師:怎么算得這么快!你們是怎樣算的?

生:因為這道算式里有5個6，可以先算“五六三十”，然后再用30加13等于43。(師板書:5×6=30，30+13=43)

師:一樣想法的同學舉手!(學生都興奮地舉起了手)噢!都是這樣想的，請放下!那么，你們計算這道題時，為什么都不用從左往右連加的方法呢?

生(眾):太麻煩了!

師:看來，我們剛才想的方法(指黑板上的分步算式)的確非常——(眾生)簡便!其實，在用這種簡便方法計算時，我們還可以把這兩道算式合成一道算式來算。你知道這一道算式是怎樣列的嗎?

生1:5×6+13。

生2:13+5×6。

(師隨機板書這兩道算式)

師:你是怎樣想的?

生:這道算式里有5個6，就寫“5×6”。13加上5+6，也就是“13+5×6”。

師:你說得真清楚!的確是這樣，為了計算簡便，我們可以先算5個6的和(點擊出示算式“13+6+6+6+6+6”下面的橫線)，這個算式也可以列成:13+5×6。那么，同學們看這兩道算式都是由原來的兩道一步算式合在一起列成的，像這樣的算式就是綜合算式。(板書:綜合算式)因此，計算這道連加算式時，我們既可以列分步算式，也可以列綜合算式。現在，請同學們仔細觀察這兩種算法(綜合算式)，看看它們有什么相同的地方?

生1:得數都一樣。

生2:都是先算乘法，再算加法。

(師用紅線分別畫出先算的部分。)

2 深入體驗。

師:同學們!像上面的連加算式，我們可以用這樣的算式計算方便。如果我們再遇到類似的連加算式，你能說出相應的簡便算式嗎?

生(眾):能!

出示:20+4+4+4。

生:20+3×4。

師:你是怎樣想的?

生:因為這道算式的后面有3個4，3個4就可以用乘法“3×4”來算，然后再與前面的20相加就是“20+3×4”。

師:因此，在這道算式中應該先算——(眾生)3乘4。

接著依次出示:

7+7+7+7+7+3，15+15+15-6，讓學生直接說出對應的算式和先算的部分。

再出示:50-8-8-8-8。

師:這道題怎樣算呢?

生:50--4×8。

師:你是怎樣想的?

生1:因為它有4個8，就是4乘8等于32，再用50減32等于18。

生2:因為它是減去4個8，可以先算4個8的和再一塊減，就是“50-4×8”。

師:“一塊減”這個詞用得好!那么，“一塊減”是什么意思?

生2:“一塊減”也就是一起減。

生3:也就是把這4個8一次減完。

師:你們真愛動腦筋!算式中原來是連續減去4個8，現在我們可以先把這4個8先合起來再一次減掉(指算式:50-4×8)，這樣算要簡便得多。因此，這道題應該先算—一(眾生)4乘8。

師:現在，我們再回頭看一看開始時這道有爭議的算式——“28-3×2”，該怎樣計算呢?為什么?

生1:先算乘法，因為這樣算簡便。

生2:因為先算3個2的和，更容易算出結果。

師:我們可以聯系剛才的算式想象一下，這道算式原來可能是——28連續減去——(眾生)3個2。(板書:28-2-2-2)很顯然，先算3個2的和(在“3×2”下面畫橫線)簡便。

3 提煉規則。

師:同學們!我們已經研究了好多道算式(指屏幕和黑板上的7道算式)，其實，像這樣的算式在我們的生活和數學學習中還會遇到很多。那么，請大家仔細觀察，比較一下這些算式，你們有什么發現?(先獨立思考、小組交流，再集體交流。)

生1:這些算式都是先算乘法，再算加減法。

生2:這些算式都是混合運算。

師:這些算式中是哪幾種運算混合在一起的?

生2:有的是乘法和加法混合在一起，有的是乘法和減法混合在一起。

師:也就是說，在什么情況下，需要先算乘法?

生3:算式中有乘法和加法或者是乘法和減法的情況下，需要先算乘法。

師:也可以這樣說，算式中有乘法和加、減法，應先算乘法。這就是今天學習的混合運算的運算順序。

三、思考

“混合運算”屬于數學規則教學的范疇，它理應遵循數學規則教學的基本規律。教學數學規則離不開若干個隱含規則的例證(特別是正例)的支持，與之對照的本課時混合運算的教學，則需要合理呈現已經確認運算順序的型如“a×b±c”和“a±b×c”的四種正例。不難想象。倘若直接呈現幾道相應的混合運算的計算式題作為正例，那么它們的運算順序將會因缺失“算理”的支撐而無法確認，其結果必然導致教學走向混亂，甚至無效。因此，有效正例的呈現必須以學生理解“算理”為前提。也就是說，只有讓學生充分體驗“為什么先算乘法”，才能生成有效的正例，進而便于運算順序的概括。

1 在變化情境中加深體驗。案例中，教師通過精心創設的變化情境，讓學生加深體驗，為正例的有效生成打開了通道。教學從口算“13+6+8”開始，先把“8”變為“6”，得到“13+6+6”;再在此算式的后面加上3個6，得到“13+6+6+6+6+6”。連續兩次的動態呈現，將這三道相關的算式構筑成一個鮮活的變化情境。隨著學生口算時簡便因素的不斷增加，其口算方法也逐步由“從左往右”轉向“先用乘法算相同加數的和”。如果說口算第二道算式時的兩種方法優劣相當，那么口算第三道算式時就必然會因相同加數的急劇增加而凸顯后者的簡便。因此，當第三道算式呈現時，不僅瞬時激活了學生的思維，而且他們在驚訝間已經不約而同地選擇了后者——“5×6=30，30+13=43”深化了最初的“簡便”體驗。此時，教師并未滿足于學生已獲得共識這一結果，而是更加關注他們選擇的緣由。通過及時反思和實地“連加”，用放大前者的麻煩來反襯后者的簡便。計算效率的極大反差所帶來的強烈沖擊力進一步加深學生的體驗，讓他們在兩種算法的直接對比中，真切體驗到后者的便捷與合理。

在此基礎上，通過合成與比較綜合算式，既生成了“確認”后的正例，又使得學生獲得更為深刻的體驗:無論“5×6”在“前”還是在“后”，都應先算“5×6”。眾所周知，將學生頭腦中的運算順序由原來的“從左往右”扭轉成現在的“先算乘法”，是教學上的一個難點。顯然，這個難點的輕松突破得益于第二個正例“13+5×6”的自然生成。究其自然生成的原因，除了“原型”(帶橫線的連加算式)的支持外，更為重要的是學生對“為什么先算乘法”的親身體驗。這也就從另一個側面說明“回到思維原點”的價值，這也是本節課中的一個亮點。

2 在擴展活動中豐富體驗。數學規則的發展需要充分的正例。正例太少，學生缺乏充分的依據，就難以歸納出其中的規則。因此，在已經呈現個別正例的基礎上，應進行適當的正例擴展。案例中主要分兩個層次:一是改寫。即:將連續呈現的四個“麻煩算式”直接改寫成“簡便算式”。在改寫中，遵循由易到難的順序，先“加”后“減”，以便學生遷移剛才的體驗，進而確認每一個新正例的運算順序。同時，對諸多不同類型正例運算順序的確認活動反過來也加深學生對“為什么先算乘法”的體驗。二是釋疑。即:依據前面獲得的經驗和體驗，解讀課始的爭議——“28-3×2”的運算順序。這一活動既是對課始爭議的回應，又是針對體驗難點——“先減后乘”的一次突破。通過遷移，強化剛剛獲得的對“50-4×8”的體驗，切實理清“在先減后乘”的算式里“先算乘法”的道理。如果說“改寫”是順向思維的話，那么“釋疑”則是逆向思維。就在學生這“一來一回”的“確認”過程中，他們對“先算乘法”及“為什么先算乘法”獲得極為豐富的體驗，從而對“四種類型”的規則表象也逐步清晰起來。雖然只研究7道相關算式，但是已經涵蓋了可能的四種類型，學生感知豐厚而深刻，再引領他們概括運算順序，實現由例證向數學規則的跨越，自然水到渠成。

與教材的選擇相比，本案例更富有邏輯性，似乎對學生的要求更高一些，然而，這種從數學知識的內在聯系人手。從人們思維原點出發的教學，卻給我們打開了一扇明亮的窗戶，不僅讓學生在看到數學知識的同時也看清了數學知識的“根基”，而且讓我們在探索的過程中多了一份沖動和成功的體驗!

當然，我們強調“回到思維原點”并非否定從生活情境出發的教學思路，而只是為了進一步探索“為什么先算乘法”。考慮到學生認知水平的差異性，雖然可以聯系生活中典型的實際問題讓學生直觀地、樸素地體會運算順序規定的合理性，不一定讓他們明確背后的“為什么”，但是教學時我們必須注意兩點:一是教師應該明確“為什么這樣規定”;二是在學生聯系生活實際體會并概括運算順序之后，教師必須站在更高的層面上及時強調:“你們的認識與數學上的規定是完全一致的，以后遇到兩步混合運算式題時，都要按照這個規定來運算。”(周玉仁語)以防止學生因聯系生活實際而形成“規定”來源于具體實際問題的錯誤認識。這事實上也就從邏輯的角度給學生的深入思維留下應有的空間。

作者單位江蘇省邳州市運河師范附屬小學

責任編輯:曹文