奏好“合情推理”三部曲

在數學中，從推理的結果來區分，有論證式推理和推測式推理。論證式推理通常叫做證明，所得的結論是可靠的;而推測式推理所得的結論是不能最終肯定的，還只是一種猜想。推測式推理也稱為合情推理。由歸納、類比和聯想產生的猜想是常用的合情推理，在數學教學中應奏好合情推理三部曲。

一、以歸納促猜想

歸納是由特殊和具體的認識推測出一般的、普遍的抽象認識現實的思維方法，是一種由特殊前提導出一般結論的認識方法。以歸納促猜想，引導學生進行合情推理，在小學數學中有著廣泛的應用。小學數學教學所涉及的大部分概念、法則、公式、性質、定律、找規律解決問題等一般都是啟發學生通過對具體事例的觀察、比較、動手計算、測量，從中找出規律，分析其原因，進而總結、歸納出帶有一般性的結論。例如，讓學生解決:“一只青蛙在50分米深的井底。它沿井壁每跳一次能跳3分米高，當它休息時，又沿井壁滑下2分米。如果它每跳一次都休息—會兒，問:跳幾次能跳到井口?”按常規思維分析:青蛙每跳一次上升3分米，下滑2分米，實際只上升3-2=1(分米)，因為井深50分米，所以跳的次數是50次。這一結論正確嗎?應引導學生用歸納的思維方法來進行合情推理:當井深3分米時，青蛙跳一次可跳到井口;當井深4分米時，青蛙跳2次可跳到井口;當井深5分米時，青蛙跳3次可跳到井口……由此可以推測得到一般的規律:井深2=青蛙跳到井口的次數。用這個規律解決問題:50-2=48(次)，可知青蛙從50分米深的井底跳48次可以跳到井口。

二、以類比促猜想

類比是從事物的一種特殊屬性推測出另一事物的特殊屬性，是一個由特殊到特殊的思維過程。波利亞說:“解決問題時往往先選出一個類似的、較容易的問題，去解決它，改造它的解法，以便它可以用作一個模式。然后利用剛剛建立的模式，以達到原來問題的解決。”解決問題時，一時難以找到解題途徑時，可以引導學生先尋找可以類比的問題，利用可以類比的問題來推測要解決的這一問題的思路和方法。如，解決這樣一道題:“有一個正方形，在這個正方形里面畫一個最大的圓，已知正方形的面積是20平方分米。求這個圓的面積。”因為20不是一個完全平方數，因此，小學生就無法利用開平方的知識來求得正方形的邊長。而無法求出正方形的邊長，也就無法求出圓的半徑。但是，我們可以引導學生用類比遷移的思維方法來進行合情推理:

合情推理一:由于圓的直徑與正方形的邊長存在等量關系(d=a)。可以這樣推測，求圓的面積可以用等量替換:3.14×r×r=3.14×d/2×d/2=3.14×a/2×a/2=3.14×(a×)/4=3.14×20/4=3.14×5=15.7(平方分米)。

合情推理二:由于圓的直徑與正方形的邊長存在等量關系(d=a)，可以這樣推測，圓的面積與正方形的面積成正比例關系，它們的比值一定:假設正方形的面積為1個單位平方，則其邊長是一個單位，而此邊長即為圓的直徑，可以先求出圓的面積與正方形面積的比值:(3.14×1/2×1/2:(1×1)=3.14:157/200，因此，圓的面積是20×157/200=15.7(平方分米)。

三、以聯想促猜想

聯想是聯系已有的知識和經驗，由一個事物想到與之相關聯的另一個事物的思維過程，是一種由此及彼的思維方法。聯想的關系在于認識事物之間的聯系，它是在分析、綜合、比較中展開的。聯想是有規律可循的。以聯想促猜想，引導學生進行合情推理。如，解決這樣一道題:“某人上山每小時行2千米，下山每小時行3千米，共用5小時，問上山用了幾小時?”用一般的算術方法解，不知道路程;用方程解，即使列出方程也難以求出未知數;用比例解，又很難確定對應關系。在教學時，教師可以鼓勵學生大膽聯想，有的學生說，上山用了3小時。有學生補充說，由于上山和下山走的是同一條路，可以聯想到路程是2和3的公倍數，最小公倍數是6(千米)，得到上山時間6÷2=3(小時)。也有的學生說，由于路程一定，可以聯想到速度和時間成反比例，速度比是2:3，時間比是3:2。因為5小時正好是3小時與2小時的和，上山較慢，所以用的時間就是3小時。學生這些想法包含著聯想、假設、推理和嘗試。盡管學生說得不夠完整，仍是他們合情推理的結果。

作者單位

福建省上杭縣教師進修學校

責任編輯:曹文